Vorlesungsskript

Beispiel 2.14.
(a) Raketenauto: A =
0
0
1
0
, B =
0
1
,
Es ist rg C = 2 und λ1 = λ2 = 0. Für z.B. U = [−1, 1] gilt nach dem gerade
formulierten Satz: N = K = R 2 .
(a) harmonischer Oszillator: ¨y + 2b ˙y + k 2 y = u(t),
mit Steuerbereich U = [−c, c],
c > 0. Dann haben wir
A =
0
−k
1
2
−2b
, B =
0
1
, C =
Es ist wiederum rg C = 2 und A hat die Eigenwerte
λ1/2 = −b ± √ b 2 − k 2 ,
0 1
1 −2b
also gilt Re λj ≤ 0, da der Dämpfungskoeffizient b ≥ 0 ist. Folgich erhält man
N = R 2 und im Fall des ungedämpften Oszillators (b = 0) auch K = R 2 .
Stabilität dynamischer Systeme und Steuerbarkeit bei nichtlinearen Sy-
stemen
Zur Stabilität von (passiven) dynamischen Systemen gibt es folgende Grundbegriffe
und Aussagen.
” Stabilität“ beschreibt das Verhalten eines dynamischen Systems in der Nähe eines
Gleichgewichts x0: Wohin driftet“ ein (beliebiger) Anfangswert xa = x0?
”
Definition 2.15. Ein Gleichgewichtspunkt x0 eines autonomen Systems ˙x = F(x)
(F (x0) = 0) heißt
a) attraktiv, wenn Lösungen x(t), die in der Nähe von x0 starten, gegen den
Gleichgewichtspunkt konvergieren, d.h. wenn es ein δ > 0 gibt, so dass
lim x(t) = x0
t→∞
für jede Lösung x(t) mit |x(0) − x0| < δ,
b) stabil, wenn Lösungen x(t), die in der Nähe von x0 starten, in der Nähe von
x0 bleiben, d.h. wenn es für alle ɛ > 0 ein δ > 0 gibt, so dass für Lösungen
mit |x(0) − x0| < δ
folgt,
|x(t) − x0| < ɛ für alle t > 0
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