Vorlesungsskript

(b) Illustrationsbeispiel 5 (Goddard-Problem): Die Problemstellung lautet
Maximiere h(T ),
unter h(t) ˙ = v, h(0) = 0,
˙v(t) =
cu(t) − D(h, v)
− g(h),
m(t)
v(0) = 0,
˙m(t) = −u(t) m(0) = m0 m(T ) = 0,
u ∈ [0, umax],
mit den ” Materialgesetzen“:
D(h, v) = αv 2 exp(−βh) (Luftwiderstand),
g(h) = g0
r2 0
r2 0 + h2 (Gravitation).
Mit λ = (λh, λv, λm) T und x = (h, v, m) T ergibt sich die Hamiltonfunktion (auto-
nom)
cu − D
H(x, λ, u) = λhv + λv − g − λmu
m
D
c
= λhv − λv + g + λv
m m
− λm
u.
Die adjungierten Differentialgleichungen lauten (D = D(h, v), g = g(h))
˙λh = λv
Dh
m
+ gh
,
˙λv =
Dv
−λh + λv
m ,
˙λm =
cu − D
λv
m2 .
Es liegt ein Mayer-Funktional vor, mit den Bezeichnungen von Aufgabe (3.29)
g(x(T )) = −h(T ),
ψ(x(T )) = m(T ) − mT .
Daher gelten die folgenden Transversalitätsbedingungen
λh(T ) = −1,
λv(T ) = 0,
λm(T ) ist frei.
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