Vorlesungsskript

Satz 4.3. Ist x0 = x0(t) eine Lösung von (4.26) mit τ = τ0 ,dann muß die folgende
Transversalitätsbedingung erfüllt sein
f(τ0, x0(τ0), ˙x0(τ0)) + [ ˙z(τ0) − ˙x0(τ0)]f ˙x(τ0, x0(τ0), ˙x0(τ0)) = 0.
Proof. Für den Beweis benutzen wir eine instruktive Erweiterung der bisherigen
Variationsidee(n).
Sei x0 die Lösung und τ0 ∈ (a1, b1) die ” optimale Zeit“. Für die Variation wählen
wir y (beliebig, aber fest) aus der Menge
y(·) ∈ C 1 [a, τ0 + δ], y(a) = 0, y(τ0) = 0.
und betrachten den Ansatz (für |ε| < δ)
x(t; ε) = x0(t) + ω(ε)y(t).
Dabei wird ω(ε) so gewählt, daß x(·; ε) bei τ0 + ε gerade die Kurve z = z(t) berührt.
Skizze
Zwischenbemerkung: Für diese Betrachtung sei x0(t) glatt (∈ C 1 )) fortgesetzt auf
[a, τ0+δ] (immer möglich) und das (wesentliche) Ergebnis der weiteren Berechnungen
ist von der konkreten Fortsetzung unabhängig (wie man leicht sieht).
Wir bestimmen nun ω(ε)
z(τ0 + ε) = x(τ0 + ε; ε) = x0(τ0 + ε) + ω(ε)y(τ0 + ε) (∗)
⇒ ω(ε) = z(τ0 + ε) − x0(τ0 + ε)
,
y(τ0 + ε)
(y(τ0 + ε) = 0, für |ε| hinr. klein.
Es gilt zuächst ω(0) = 0. Weiter folgt durch implizite Differentiation in (∗) (nach ε
an der Stelle ¯ε)
˙z(τ0 + ¯ε) = ˙x0(τ0 + ¯ε) + ω ′ (¯ε)y(τ0 + ¯ε) + ω(¯ε) ˙y(τ0 + ¯ε)
Damit ergibt sich für ¯ε = 0 (wegen ω(0) = 0) unmittelbar
ω ′ (0) = ˙z(τ0) − ˙x0(τ0)
y(τ0)
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