Vorlesungsskript

Da ist eine Aufgabe vom Typ (1.3) in einer reellen Funktion x = xi(t). Damit ist
die Gültigkeit der folgenden notwendigen Optimalitätsbedingung klar.
f ˙xi (t) =
t
a
fxi (s)ds + Ci, ∀t ∈ [a, b], i = 1(1)m. (2.9)
Dies ist ein System von m Integrodifferentialgleichungen für x 0 (t).
Nebenbetrachtung 2: Eine weitere ” Eulergleichung“
Wir betrachten (für die skalare Grundaufgabe (1.3)) eine Variablensubstitution
t = u(s), s ∈ [a, b],
mit einer streng monotonen Funktion u(s) ∈ C 1 , d.h., ˙u(s) > 0, ∀s (Hintergedanke:
Nach einer solchen Umparametrisierung muß eine Lösung des Ausgangsproblems
auch optimal für das umformulierte Problem sein). Wir setzen noch
x(t) = x(u(s) =: v(s) ⇒ f(t, x, ˙x) = f(u, v, ˙v/ ˙u), denn.
dt = ˙u(s)ds, ⇒ ˙x(t) = dv dv ds 1
= = ˙v ·
dt ds dt ˙u .
Damit haben wir das Problem (1.3) (äquivalent) umgeformt zu einem Variations-
problem für zwei unbekannte Funktionen u, v).
b
f(u, v, ˙v/ ˙u) ˙uds → min, bei (2.10)
a
u(a) = a, u(b) = b, v(a) = xa, v(b) = xb.
Dabei ist eine Lösung bekannt: u0(s) = s, v0(s) = x0(u0(s)) = x0(s). Man beachte
noch ˙u0(s) = ˙s ≡ 1. Wir setzen
und werten (2.9) an (u0, v0) aus:
F ˙u = f ˙x(u, v, ˙v/ ˙u) · ˙u ·
F (u, v, ˙u, ˙v) = f(u, v, ˙v/ ˙u) · ˙u,
− ˙v
˙u 2
+ f · 1 = −f ˙x · ˙x + f
t
Fu = ft(u, v, ˙v/ ˙u) · 1 =⇒
t
F ˙u(t) = Fu(s)ds + C ⇒ [f − ˙xf ˙x](t) = ft(s)ds + C
a
Eigentlich entstehen bei Auswertung von (2.9) 2 Integrodifferentialgleichungen, aber
es (uns) interessiert nur die für x1 = u. Zusammengefaßt erhält man
10
a