Vorlesungsskript

gilt aber
b 0
fxy + f
a
0 ˙x ˙y dt =
b
a
d
dt f 0 ˙x y + f 0 ˙x ˙y dt =
b
d 0
f
a dt
˙xy dt
= f ˙x(b, x0(b), ˙x0(b))y(b) − f ˙x(a, x0(a), ˙x0(a)) y(a)
⇒ δJ (x0)[y] =
=0
f ˙x(b, x0(b), ˙x0(b)) + g ′ (x0(b))]y(b).
Da y(b) beliebig sein kann, erhalten wir hieraus die Behauptung.
Bemerkung 4.2. Ist g ≡ 0, so ergibt sich für ein (klassisches) Variationsproblem
mit freiem rechten Rand die sogenannte natürliche Randbedingung
f ˙x(b, x0(b), ˙x0(b)) = 0.
In analoger Weise ergeben sich für ein Problem mit freien Werten am linken Rand
(h : R → R hinreichend glatt)
b
J (x(·)) = f(t, x(t), ˙x(t))dt + h(x(a)) + g(x(b)) → min,
a
die zur Eulerschen Gleichung gehörenden Randbedingungen
f ˙x(a, x0(a), ˙x0(a)) + h ′ (x(a)) = 0.
Ohne Terminalanteil im Zielfunktional ergibt sich wieder die natürliche RB.
Endwerte auf einer gegebenen glatten Kurve. Wir erörtern eine weitere Ver-
allgemeinerung der Aufgabenstellung. Zur Vereinfachung der Darstellung schränken
wir uns hier auf glatte Extremalen ein (Z = C 1 [a, b]). Weiter sei eine glatte Kurve
z = z(t) ∈ C 1 [a1, b1] gegeben, mit (a1, b1) ⊂ (a, b). Dann betrachten wir folgende
Aufgabenstellung
τ
f(t, x(t), ˙x(t) → min, bei x(a) = xa, x(τ) = z(τ), τ ∈ (a1, b1) frei. (4.26)
a
Skizze
Auch hier muß eine Lösung x0 von (4.26) die Eulersche Differentialgleichung erfüllen,
denn x0 löst auch die Aufgabe mit festem Endwert xτ0 := x0(τ0).
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