Vorlesungsskript

Anmerkung: Entwickelt man f(t, x, ˙x) in eine Taylorreihe bzgl. des dritten Argu-
ments, dann gilt
f(t, x, u) ≈ f(t, x, ˙x) + (u − ˙x)f ˙x(t, x, ˙x).
Die E-Funktion stellt also die Differenz dieser beiden Terme (das zugehörige Rest-
glied) dar.
Satz 2.13. Ist x0(t) eine Lösung des Variationsproblems (1.3), dann muß gelten
E(t, x, ˙x, u) ≥ 0 (2.16)
für alle (t, x, ˙x, u) mit der Eigenschaft (t, x, ˙x) = (t, x0(t), ˙x0(t)) sowie (t, x, u) ∈ R.
Anmerkung: Man beachte, daß ˙x(t) zweielementig sein kann.
Zunächst eine geometrische Interpretation: Wir betrachten für festes ¯t und ¯x = x0(¯t)
die Funktion y = y(u) := f(¯t, ¯x, u) und fixieren noch ū := ˙x0(¯t). Dann beschreibt
E = E(¯t, ¯x, ū, u) als Funktion des letzten Arguments die Differenz zwischen der
Funktion y = y(u) und der Tangente an y im Punkt u = ū. Die Forderung (2.16)
aus Satz 2.13 besagt dann (Tangente unterhalb des Graphs der Fkt.):
Erfüllt x0 die Weierstraßsche Bedingung, dann ist für jedes feste t ∈ [a, b] und
jeden zugehörigen Wert x0(t) die Funktion y(·) konvex in u. Offenbar gilt auch die
Umkehrung.
Proof. Sei ¯t ∈ (a, b) beliebig fixiert, aber keine Ecke von x0. Wir setzen noch ¯x =
x0(¯t) und ū := ˙x0(¯t) und wählen δ0 > 0 mit ¯t + δ0 < b. Sei weiter u beliebig mit
(¯t, ¯x, u) ∈ R. Dann betrachten wir für beliebige 0 < δ < δ0, 0 < ε < 1 die folgenden
lokalen Störungen der Funktion x0:
⎧
⎪⎨
x0(t) t ∈ [a, ¯t] ∪ [¯t + δ, b],
x(t; ε, δ) := x0(t) + (t − ¯t)(u − ū)
⎪⎩ x0(t) +
t ∈ (¯t, ¯t + εδ],
ε(u−ū)
1−ε (¯t + δ − t) t ∈ (¯t + εδ, ¯t + δ].
Da R offen, existiert ein ε0 > 0 derart, daß für 0 < ε < ε0 und 0 < δ < δ0 die Funk-
tionen x(t; ε, δ) alle zulässig sind und (per Konstruktion) auch die Randbedingungen
erfüllen. Folglich gilt
0 ≤ J (x(ε, δ)) − J (x0), 0 < ε < ε0, 0 < δ < δ0,
⇒ 0 ≤ 1
εδ {J (x(ε, δ)) − J (x0)} , (+).
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