Vorlesungsskript

sei eine Funktion f ∈ C 2 (R).
(Anmerkung: Wir bezeichnen mit x, ˙x sowohl die gesuchte Funktion und deren Ab-
leitung als auch die zweite und dritte Koordinate von (t, x, ˙x) ∈ R. Diese ” Dop-
pelbezeichnung“ soll die Verbindung nochmals hervorheben, Irritationen durch Ver-
wechslung sollten (weitestgehend) ausgeschlossen sein.)
Definition 1.1. Eine reelle Funktion x(t) : [a, b] → R heißt zulässig, wenn x(t)
stetig und stückweise stetig differenzierbar ist ( ˙x hat nur endlich viele Unstetigkeiten
1. Art - es existieren also immer ˙x(t − 0), ˙x(t + 0) ∈ R - t ist dann eine sogenannte
” Ecke“) und wenn gilt
Wir benutzen die Bezeichnung: x(·) ∈ Z.
(t, x(t), ˙x(t)) ∈ R, ∀t ∈ (a, b).
Weiter seien zwei Werte xa, xb ∈ R gegeben. Dann läßt sich die (einfachste) Grund-
aufgabe der VR wie folgt formulieren:
J x(·) := b
f(t, x(t), ˙x(t))dt → min,
a
bei x(a) = xa, x(b) = xb, x(·) ∈ Z.
(1.3)
Bemerkung 1.2. (i) Man beachte den grundlegenden Unterschied zu endlichdimen-
sionalen Optimierungsproblemen: Bisher waren Vektoren x ∈ R n gesucht, jetzt sind
es Funktionen x = x(t).
(ii) Sei M := {x(·) ∈ Z | x(a) = xa, x(b) = xb}. Dann ist im Problem (1.3) eine
Funktion x 0 (·) gesucht mit
J (x 0 (·)) ≤ J (x(·)), ∀x(·) ∈ M.
(iii) Ist x(·) ∈ Z und t ein Unstetigkeitspunkt von ˙x, so nennen wir t eine Ecke.
In einer Ecke verstehen wir unter ˙x(t) immer zwei Werte unabhängig voneinander,
nämlich { ˙x(t − 0), ˙x(t + 0)}.
Die Frage nach der Existenz einer Lösung von Problem (1.3) kann nicht generell
positiv beantwortet werden, wie das folgende Beispiel von Weierstraß zeigt.
Beispiel 1.3. Mit R = (0, 1) × R 2 ⊂ R 3 betrachten wir die Aufgabe
J (x(·)) =
1
0
t 2 ˙x 2 dt → min, bei x(0) = 0, x(1) = 1.
Dabei seien all stückweise stetig differenzierbaren Funktionen zugelassen. Offenbar
gilt
J (x(·)) ≥ 0, ∀x(·) ∈ Z.
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