Vorlesungsskript

Die adjungierten Differentialgleichungen
haben die Lösungen
˙λ1(t) = −Hx1(x, λ, u) = λ2,
˙λ2(t) = −Hx2(x, λ, u) = −λ1,
λ1(t) = −R cos(t + C), λ2(t) = R sin(t + C), R = 0.
Die Schaltfunktion und die optimale Steuerung sind
σ(t) = λ2(t) = R sin(t + C),
u ∗ (t) = − − sgnσ(t).
Somit liegen die Schaltpunkte jeweils im Zeit-Abstand π voneinander. Die optimale
Trajektorie x ∗ (·) setzt sich stückweise zusammen aus
• u ∗ (t) ≡ 1: Die Lösung x(·) von
sind Kreise um (1, 0) T , denn
• u ∗ (t) ≡ −1: Die Lösung x(·) von
sind Kreise um (−1, 0) T , denn
˙x1 = x2, und ˙x2 = −x1 + 1,
x1(t) = r sin(t + a) + 1,
x2(t) = r cos(t + a), ⇒
(x1 − 1) 2 + x 2 2 = r 2 ≡ const..
˙x1 = x2, und ˙x2 = −x1 − 1,
x1(t) = r sin(t + a) − 1,
x2(t) = r cos(t + a), ⇒
(x1 + 1) 2 + x 2 2 = r 2 ≡ const..
Ähnlich wie im vorherigen Beispiel setzen wir
zu u = 1 : Γ+ := {x ∈ R 2 : (x1 − 1) 2 + x 2 2 = 1 und x2 ≤ 0},
zu u = −1 : Γ− := {x ∈ R 2 : (x1 + 1) 2 + x 2 2 = 1 und x2 ≥ 0}.
Alle Schaltpunkte liegen (im Phasenraum!) auf der Schaltkurve S, diese wird ge-
bildet als Vereinigung von Translationen von Γ+ längs der positiven x1-Halbachse
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