Vorlesungsskript

nicht explizit mitgeführt.
Wegen H ˙x = λ (= p) lauten die Randbedingungen (4.33)
( ¯ λ(a) =)¯p(a) = ∇ T h(x0(a)) · ¯ l0, bzw. ¯p(b) = ∇ T g(x0(b)) · ¯ l1.
Für Festrandbedingungenen (∇ T h = ∇ T g = I) enthalten diese keine (einschränken-
den) Informationen, bei z.B., freiem rechten Rand (∇ T g = 0) ergibt sich p(b) = 0.
Beispiel 4.16.
T
(x 2 + c 2 u 2 )dt → inf; T fest, x(0) = x0, ˙x = ax + u.
0
Auswertung der notwendigen Bedingungen ergibt:
− ˙p = ap − 2x, ˙x = ax + u, p = 2c 2 u, x(0) = x0, p(T ) = 0.
Daraus kann man folgende RWA für x(·) ableiten (bei hinreichender Glattheit):
¨x = ( 1
c 2 + a2 )x, x(0) = x0, ˙x(T ) − ax(T ) = 0.
Die weitere Diskussion in der Übung.
5 Hinreichende Optimalitätsbedingungen
5.1 Extremalenfelder und Mayersche Felder
Extremalenfelder. In den weiteren Betrachtungen gilt immer die Zulässigkeit der
betrachteten Argumente, d.h., (t, x(t, λ), ˙x(t, λ)) ∈ R.
Sei λ ∈ R ein (reller) Parameter. Für jedes feste λ sei xλ = x(t, λ) eine glatte
Extremale, d.h., eine Lösung von d
dt f ˙x = fx auf [t0, t1].
Definition 5.1. (i) Wir sagen, daß die Funktion x(t, λ) : R 2 → R ein Extremalen-
feld bildet, welches ein Gebiet G ⊂ R 2 überdeckt, wenn gilt
(a) x(·, ·) ∈ C 1 , und die Abb. λ ↦→ x(·, λ) ist stetig von R nach C 1 [t0, t1].
(b) ∀ (τ, ξ) ∈ G ∃! λ = λ(τ, ξ) mit x(τ, λ) = ξ.
(ii) Das Extremalenfeld x(t, λ) heißt zentral, wenn ein (t0, x0) existiert mit
x(t0, λ) = x0, ∀λ.
Der Punkt (t0, x0) heißt Zentrum des Feldes.
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