Vorlesungsskript

Proof. Ohne Beweis.
Zusammenfassung: Haben wir ein zentrales Extremalenfeld vorliegen, dann ist
dort eine Gefällefunktion u und eine Optimalwertfunktion σ definiert. Damit lautet
das (bisherige) zentrale Ergebnis:
Der Zuwachs der Optimalwertfunktion dσ kann mit Hilfe des Hilbertschen Integral-
ausdruckes und der Gefällefunktion u ausgedrückt werden.
Mayersche Felder (Hilbertsches Feld). Es sei V ⊂ R 2 ein einfach zusam-
menhängendes Gebiet.
Definition 5.4. Die Funktion Γ = Γ(t, x), Γ : V → R heißt Mayersches Feld
für das Funktional J , wenn Γ ∈ C 1 (V ), (t, x, Γ(t, x)) ∈ R, ∀(t, x) ∈ V , und das
Kurvenintegral
I(γ) =
f(t, x, Γ(t, x)) − Γ(t, x)f ˙x(t, x, Γ(t, x)) dt + f ˙x(t, x, Γ(t, x))dx (5.35)
γ
(Hilbertsches Integral) vom Integrationsweg γ unabhängig ist für eine beliebige glatte
Kurve γ ⊂ V .
Bemerkung 5.5. (i) I(γ) darf also nur von der Lage der Endpunkte abhängen,
nicht von der Form der Kurve. Dies ist äquivalent zu I(˜γ) = 0 für alle geschlosse-
nen Kurven ˜γ ⊂ V .
(ii) Man beachte, daß der Integrand von I(γ) genau der Integrand des Ausdrucks
zur Berechnung von dσ darstellt.
(iii) In diesem Sinn korrespondiert Γ offensichtlich mit der vorher eingeführten
Gefällefunktion u. D.h., man kann sich Γ(t, x) als Punktrichtungsfeld vorstellen,
daß in jedem Punkt (t, x) ∈ V den Anstieg einer (der) Extremalen definiert
˙x(t) = Γ(t, x(t)).
(iv) Nowendig und hinreichend für Wegunabhängigkeit in (5.35) ist, das unter dem
Integral ein totales Differential steht, bzw. (v = (a, b) T , ds = (dt, dx) T )
∃g ∈ C 1 b
(V ) : v = ∇g ⇔ I(γ) = v T ds = g(b) − g(a).
Ausgeschrieben muß damit für ein Mayerfeld gelten
gt = f(t, x, Γ(t, x)) − Γ(t, x)f ˙x(t, x, Γ(t, x))
a
=: a(t, x),
gx = f ˙x(t, x, Γ(t, x)) =: b(t, x).
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