Vorlesungsskript

Idee zur Lösung: Bezeichne ω(x) = rx(1 − x/k) und der Gleichgewichtspunkt (∼-
Zustand) xδ sei Lösung der algebraischen Gleichung
δ p − c(x) = [(p − c(x))ω(x)] ′ = (p − c(x))ω ′ (x) − c ′ (x)ω(x).
Für x0 < xδ, ω(xδ) < umax und hinreichend großes T hat man folgende Struktur
der optimalen Lösung (ist singulär für t ∈ (t1, t2)): :
⎧
⎪⎨
0 t ≤ t1, t1 : x(t1) = k/(1 − ae
u(t) =
⎪⎩
−rt1 ) = xδ,
ω(xδ)
umax
t ∈ (t1, t2),
t ≥ t2.
1.2 Die Aufgabenstellung der Optimalen Steuerung
Im Folgenden bezeichne
x(t) ∈ R n
: den Zustandsvektor eines Systems zur Zeit t
u(t) ∈ R m : den Steuervektor zur Zeit t
t0 : die Anfangszeit des Prozesses
T : die Endzeit des Prozesses, T > t0
Ohne Einschränkung der Allgemeinheit setzen wir stets t0 = 0. Die Endzeit T kann
fest oder frei sein. Im letzteren Fall ist die optimale Zeit T Teil der Lösung.
Ein Optimalsteuerproblem ist durch folgende Daten gegeben:
(1) die Dynamik des Prozesses
(2) die Randbedingungen für den Zustand bei t = 0 und t = T
(3) den zulässigen Bereich für die Steuerung
(4) die zu minimierende Zielfunktion
Die Zustandsgleichung (Dynamik eines Prozesses)
Im Rahmen dieser Vorlesung ist die Zustandsgleichung stets durch ein System gewöhn-
licher Differentialgleichungen (erster Ordnung, in aufgelöster Form) gegeben, genau-
er betrachten wir (zunächst) das Anfangswertproblem (zur gewöhnlichen Differen-
tialgleichung)
˙x(t) = f(t, x(t), u(t)), x(0) = x0, t > 0, (1.1)
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