Vorlesungsskript

möglichen Annäherung“ von der singulären Trajektorie an eine Endbedingung.
Bei autonomen Aufgaben mit freier Endzeit gilt zusätzlich - siehe Satz 3.1, (iv)-(v)
und Beziehungen (3.40), (3.41):
H(x, λ, u) = a0(x) + λ T a(x) + (b0(x) + B T (x)λ) T u
= a0(x) + λ T a(x) + σ(t)u
≡ 0.
Für eine singuläre Steuerung folgt dann auf dem singulären Teilstück
Zusammen mit
σ(t) ≡ 0 ⇒ a0(x) + λ T a(x) ≡ 0.
σ (¯ k) = σ ( ¯ k) (x(t), λ(t)) ≡ 0, für alle k = 0(1)(2q − 1),
kann dies zur Berechnung einer singulären Mannigfaltigkeit S(x(t)) = 0, S :
R n → R benutzt werden. Im Beispiel 3.6 ist dies gegeben durch
σ (1) = ˙ λ = −x ≡ 0.
Beispiel 3.8. Optimales Fischen und die Höhenrakete Wir diskutieren ausführ-
lich die Lösung für die Illustrationsbeispiele 5 und 6.
(a) Aufgabenstellung zu Illustrationsbeispiel 6 (Optimales Fischen):
Maximiere F (x, u) =
T
e −δt p − c(x(t)) u(t)dt
0
unter ˙x(t) = ω x(t) − u(t), t ∈ (0, T ],
ω(x) = rx(1 − x
k ),
x(0) = 1, x(T )) = xT oder frei,
u ∈ [0, umax].
Die Hamiltonfunktion ist hier (kein autonomes Problem, λ0 = 1)
H(t, x, λ, u) = −e −δt p − c(x(t)) u(t) + λ(ω(x) − u),
und die adjungierte Differentialgleichung lautet
Als Schaltfunktion ergibt sich weiterhin
˙λ = −Hx = −e −δt c ′ (x)u − λω ′ (x).
σ(t, x, λ) = Hu(t, x, λ, u) = −e −δt p − c(x) − λ.
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