Vorlesungsskript

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x(t)
1
u = −1
u = +1
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T/2 T
✲
t
Abbildung 3.5: Die optimale Lösung in Beispiel 3.6 für T < 2.
Die Anwendung des Maximumprinzips ergibt
H = 1
2 x2 + λu,
⎧
⎪⎨
−1,
λ ˙ = −Hx = −x,
λ(t) > 0,
σ = λ,
u(t) = beliebig in [−1, 1],
⎪⎩ 1,
λ(t) = 0,
λ(t) < 0.
Wenn eine singuläre Steuerung auftritt, so kann sie folgendermaßen berechnet wer-
den (unter Benutzung aller Informationen des Problems)
σ(t) = λ(t) ≡ 0
=⇒ ˙σ := dσ
dt = ˙ λ = −x ≡ 0
=⇒ ¨σ :=
d ˙σ
dt
= − ˙x = −u ≡ 0.
Also ist u(t) ≡ 0 eine singuläre Steuerung. Jedoch kann a-priori nicht entschie-
den werden, ob eine singuläre Steuerug tatsächlich auftritt oder nicht. Dies hängt
i.a. entscheidend von weiteren Problemdaten ab, hier von der (Relation zwischen
der) Endzeit T und den Randwerten. In diesem (einfach(st)en) Beispiel ist die Si-
tuation leicht zu überschauen:
So erhält man im Fall T < 2 eine Bang-Bang-Steuerung (s. Abbildung 3.5).
Für T > 2 ergibt sich die Struktur Bang-singulär-Bang (s. Abbildung 3.6)
Der Zustand und die Schaltfunktion (hier = adjungierter Zustand) der Lösung für
T > 2 kann auch explizit angegeben werden:
⎧
⎪⎨
1 − t, 0 ≤ t ≤ 1,
x(t) = 0, 1 < t ≤ T − 1,
⎪⎩ t − (T − 1), T − 1 < t ≤ T.
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