Vorlesungsskript

2.2 Steuerbarkeit bei linearen autonomen Steuerprozessen
In diesem Abschnitt seien A ∈ R n×n und B ∈ R m×n fixiert (konstant). wir betrachten
lineare Steuerprozesse der Form
˙x = Ax + Bu, x(0) = x0, t ∈ [0, T ]. (2.12)
Der Steuerbereich U ⊂ R m genüge den Voraussetzungen aus Abschnitt 1.2. Die
Lösung von (2.12) kann unter Berücksichtigung von (2.11) für jede zulässige (meß-
bare und wesentlich beschränkte) Steuerfunktion u(·) : [0, T ] → U unmittelbar
angegeben werden (c(s) = Bu(s), Φ −1 (s) = e −As )
x(t) = e At t
x0 + e A(t−s) Bu(s)ds.
0
Damit ist die in Definition 1.4 eingeführte Erreichbarkeitsmenge für lineare autono-
me dynamische Systeme gegeben durch
K(t; x0 = e At x0 +
= e At x0 + K(t; 0).
t
0 eA(t−s) Bu(s)ds u ∈ U
(2.13)
Folgerung 2.3. x0 ist genau dann nach x1 steuerbar in der Zeit t, wenn 0 nach
x1 − e At x0 steuerbar ist (in der gleichen Zeit). Es genügt daher, für lineare Systeme
die erreichbare Menge K(t) := K(t; 0) zu untersuchen.
Definition 2.4. Es sei U = R m . Das System (2.12) heißt vollständig steuerbar,
wenn für alle x0, x1 ∈ R n ein t1 > 0 existiert mit x1 ∈ K(t1; x0).
Ziel der nächsten Untersuchungen ist der Nachweis der Aussage
(2.12) ist vollständig steuerbar ⇔ K(t) = R n , ∀t > 0.
Lemma 2.5. Die Menge K(t) ist konvex. Ist U = R m , so ist K(t) ⊂ R n ein linearer
Unterraum.
Proof. Es seien x1, x2 ∈ K(t). Dann existieren Steuerungen ui ∈ L∞(0, t; U)
t
xi = e A(t−s) Bui(s)ds, i = 1, 2.
0
Wegen der Konvexität von U und der Linearität der Abb. u ↦→ x(t; u) gilt
uα := αu1 + (1 − α)u2 ∈ U, ∀α ∈ (0, 1),
t
⇒ xα := αx1 + (1 − α)x2 = e A(t−s) Buα(s)ds ∈ K(t).
Die zweite Aussage folgt (analog) aus der Linearität von u ↦→ x(t; u).
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