Vorlesungsskript

Anmerkungen: (i) (i), (b) bedeutet: Durch jeden Punkt von G geht genau eine
Extremale des Feldes. Damit können sich Extremale des Feldes nirgendwo in G
schneiden.
(ii) Ein Extremalenfeld ist eine einparametrige Kurvenschar. Die allgemeine Lsg.
der Eulergleichung ist zweiparametrisch. Diese bilden (so) kein Extremalenfeld.
(iii) Es gilt (natürlich) (t0, x0) /∈ G. Aber (zu (ii) und (iii): Wir fixieren nur x(t0) =
x0. Alle Lösungen der Eulerschen Gleichung (zu einem fixiertem Integranden) mit
˙x0(t0) = λ bilden ein zentrales Extremalenfeld.
Skizzen
Wir betrachten nun ein zentrales Feld (mit Zentrum (t0, ξ0) /∈ G). Dann gibt es bei
festem (τ, ξ) ∈ G genau eine Extremale x = x(t, λ(τ, ξ)), welche (τ, ξ) mit (t0, ξ0)
verbindet.
Definition 5.2. (i) Als Gefällefunktion u = u(τ, ξ) des Feldes bezeichnen wir den
Wert des Anstiegs der Extremalen x(·, λ) im Punkt (τ, ξ), d.h.,
u(τ, ξ) := ˙x(τ, λ) = ˙x(τ, λ(τ, ξ)).
(ii) Weiter setzen wir
τ
σ(τ, ξ) := f(t, x(t, λ, ˙x(t, λ))dt, mit λ = λ(τ, ξ).
t0
σ(τ, ξ) wird der J -Abstand des Punktes (τ, ξ) vom Zentrum (t0, ξ0) im Feld x(t, λ)
genannt (auch Fundamentalfunktion).
Man kann zeigen, daß die Extremalen des Feldes jede Niveaulinie σ(τ, ξ) ≡ ρ trans-
versal schneiden Für das totale Differential der Abstandsfunktion σ = σ(t, x) gilt
der folgende wichtige Satz.
Satz 5.3. Ein Zentrales Feld mit Zentrum in (t0, x0) überdecke das Gebiet G ⊂ R 2 .
Dann gilt für jeden Punkt (t, x) ∈ G
dσ(t, x) = {f(t, x, u(t, x)) − u(t, x)f ˙x(t, x, u(t, x))}dt + f ˙x(t, x, u(t, x))dx,
wobei u(·, ·) die Gefällefunktion des Feldes ist.
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