Vorlesungsskript

4.2 Ableitungen höherer Ordnung
Es sei nun eine Funktion f = f(t, x, x1, . . . , xn) auf einer offenen Menge R ⊂ R n+2
gegeben. Dabei gelte (mindestens) f ∈ C n+2 (R). Wir betrachten dann das Variati-
onsproblem höherer Ordnung
bei den Randbedingungen
b
J (x(·)) = f(t, x(t), ˙x(t), ¨x(t), . . . , x (n) (t))dt → min, (4.27)
a
x(a) = xa, x(b) = xb, x (i) (a) = x i a, x (i) (b) = x i b, i = 1(1)n − 1.
Gemäß den bisherigen Betrachtungen ist eine ” kanonische“ Wahl für die Klasse der
zulässigen Funktionen
x(·) ∈ Zn := {x ∈ C n−1 [a, b]| x (n) stückweise stetig}.
Dann funktioniert zur Behandlung der Aufgabe (4.27) die zugehörige Anpassung
unserer Variationsidee mittels (Z 0 n - alle RW = 0)
xε(t) = x0(t) + εy(t), mit y ∈ Z 0 n fest.
Damit bilden wir F (ε) = J (xε). In völliger Analogie zum Bisherigen ergibt sich
dann für die erste Variation
F ′ b
(0) = fxy + fx1 ˙y + fx2 ¨y + . . . + fxny (n) dt.
a
Nun werden alle Terme mit Ableitungen der Testfunktion sukzessive partiell inte-
griert
b
a
b
a
fx1 ˙ydt = fx1y b a
=0
fx2 ¨ydt = fx2 ˙y b a
=0
= ˙ fx2y b a
=0
b
−
a
b
−
a
b
. = . . .
fxky(k) dt = (−1) k
b
a
28
d
dt (fx1) y dt
d
dt (fx2) ˙y dt
b
d
+
a
2
dt2 (fx2) y dt
a
dk (fxk ) y dt
dtk