Vorlesungsskript

⇒ C = (B, AB) =
0
1
1
0
besitzt den Rang 2.
(i) Für U = R erhalten wir K(t) = R 2 für alle t > 0 (Satz 2.7).
(ii) Für U = [−1, 1] gilt 0 ∈ int K(t) für alle t > 0 (Satz 2.9).
b) Differentialgleichung n-ter Ordnung (mit konstanten Koeffizienten)
y (n) + an−1y (n−1) + . . . + a1 ˙y + a0y = u(t),
ist äquivalent dem System erster Ordnung ˙x = Ax + Bu mit
⎛
⎜
x = ⎜
⎝
y
˙y
.
y (n−1)
⎞
⎟ ,
⎠
⎛
⎜
A = ⎜
⎝
0
0
0
1
.. .
. . .
. . . 0
. ..
0
.
1
⎞
⎟ ,
⎠
⎛ ⎞
0
⎜ ⎟
⎜
B = ⎜.
⎟
⎜ ⎟
⎝0⎠
−a0 −a1 . . . −an−1
1
Man kann zeigen: rg C = rg B, AB, . . . , A (n−1) = n. Damit gilt für U = R: K(t) =
R n für alle t > 0.
Neben der Erreichbarkeitsmenge K(t) (von x0 = 0) ist auch die nullsteuerbare
Menge (bezüglich der Dynamik ( ˙x = Ax + Bu) von Interesse
N(t) := {x ∈ R n : x1 ist in [0, t] nach 0 steuerbar}.
Zur Diskussion des Zusammenhangs von N(t) und K(t) betrachten wir das System
˙x = −Ax − Bu (2.14)
Es sei K−(t) die Erreichbarkeitsmenge für Gleichung (2.14),
K−(t) := {x1 ∈ R n : 0 ist nach x1 steuerbar mit (2.14)}.
Ist x1 ∈ K−(t) mit zugehöriger Steuerung ũ und Zustand ˜x, so setzen wir
x(s) := ˜x(t − s), u(s) := ũ(t − s), s ∈ [0, t].
Dann genügt (x, u) der DGL ˙x = Ax + Bu und den RB
x(0) = ˜x(t) = x1, x(t) = ˜x(0) = 0.
Folglich gilt x1 ∈ N(t) und damit die Beziehung
N(t) = K−(t)
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