Vorlesungsskript

Damit wird
Mit den Bezeichnungen
T
F (x, u) = g(x(T )) + f0(t, x(t), u(t))dt
=
0
T
x0(t) + f0(t, x(t), u(t)) dt
0
¯x = (x0, x1, . . . , xn) T ∈ R n+1 ,
¯f(t, ¯x, u) = (0, f1, . . . , fn) T (t, x, u),
¯f0(t, ¯x, u) = x0(t) + f0(t, x, u),
x(0) = x0,
x0(0) frei,
¯ψ(¯x) =
ψ(x)
x0 − g(x)/T
,
geht die Aufgabe (3.29) über in ein Lagrange-Problem mit dem Zielfunktional
T
F (¯x, u) = ¯f0(t, ¯x, u)dt. (3.37)
0
(c): Die Rückführung einer freien Endzeit T auf eine feste Endzeit ¯ T = 1 erfolgt
durch Einführung einer neuen Zeitvariable s ∈ [0, 1] mittels
und der Definition
t = sT, s ∈ [0, 1], (3.38)
˜x(s) = x(sT ),
Dann gilt bezüglich der Variablen s:
d˜x
ds
ũ(s) = u(sT ), s ∈ [0, 1].
= T dx
dt
T
g(x(T ) + f0(t, x(t), u(t))dt = g(˜x(1)) + T
0
(sT ) = T f(sT, ˜x(s), ũ(s)), und (3.39)
1
0
f0(sT, ˜x(s), ũ(s))ds.
Zusätzlich benötigt man die Zustandsvariable ˜xn+1(s) ≡ T , für die gilt:
d˜xn+1
ds = 0, ˜xn+1(0), ˜xn+1(1) frei.
Vervollständigt man den Zustandsvektor wieder zu ¯x := (˜x, ˜xn+1) T ∈ R n+1 , so erhält
man ein Steuerproblem mit fester Endzeit ˜ T = 1 und den Randbedingungen
¯ψ(¯x(1)) = ψ(x(T ))) = 0.
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