Vorlesungsskript

also die Behauptung. Damit ist der Satz für Nichtecken gezeigt. Ist nun ¯t eine Ecke,
dann Betrachtung von t → ¯t, t Nichtecke. Wir spalten wie folgt auf
0 ≤ E(t, x0(t). ˙x0(t), u) = f(t, x0(t), u)
stetig
−u f ˙x(t, x0(t), ˙x0(t))
stetig
− f(t, x0(t), ˙x0(t)) − ˙x0(t)f ˙x(t, x0(t), ˙x0(t))
.
stetig
Wegen der Stetigkeit von E gilt die Ungleichung somit auch für t = ¯t.
Beispiel 2.14. (kürzeste Linie) f(x, ˙x) = √ 1 + ˙x 2 ⇒
E(t, x, ˙x, u) = √ 1 + u2 − √ 1 + ˙x 2 − (u − ˙x) ˙x(1 + ˙x 2 ) −1/2 ≥ 0
√ √
⇔ 1 + u2 · 1 + ˙x 2 − 1 − u ˙x ≥ 0, trivial f. u ˙x < 0.
u ˙x ≥ 0 : ⇔ 1 + u 2 + ˙x 2 + u 2 ˙x 2 ≥ 1 + 2u ˙x + u 2 ˙x 2
⇔ (u − ˙x) 2 ≥ 0
Damit ist hier die Weierstraßsche Bedingung bedeutungslos, da diese stets erfüllt ist.
Zum Abschluß eine Aussage über das Verhalten der E-Funktion in Ecken, dies wird
im nächsten Abschnitt benutzt.
Folgerung 2.15. Ist x0 eine Extremale von (1.3), dann gilt in jedem Eckpunkt t
E(t, x0(t), ˙x0(t − 0), ˙x0(t + 0)) = E(t, x0(t), ˙x0(t + 0), ˙x0(t − 0)) = 0. (2.17)
Proof. Die Aussage folgt unmittelbar aus den bereits bekannten (beiden) Eckenbe-
dingungen. Notation: ˙x + := ˙x0(t + 0), ˙x − := ˙x0(t − 0), analog f + , f − , usw.
Wir wissen f +
˙x
= f −
˙x
E(t, x0, ˙x − , ˙x + ) = f + − f − − ( ˙x + − ˙x − )f −
˙x
(Weierstraß-Erdmann) ⇒
= (f + − ˙x + f +
˙x ) − (f − − ˙x − f −
˙x
Analog erfolgt der Nachweis für die andere Beziehung.
) = 0, (Weierstraß).
3 Bedingungen zweiter Ordnung - Legendresche
und Jacobische Bedingung
3.1 Zweite Variation und Legendresche Bedinung
Zu Beginn von Unterabschnitt 2.2 hatten wir für y ∈ Z0 die Störfunktion F (ε :=
J (x0 + εy) eingeführt, vgl. (2.6), und die erste Varition δJ (x0)[y] definiert.
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