Vorlesungsskript

Die Untersuchung (bzgl. lokaler Steuerbarkeit) kann mittels Linearisierung (an
(x0, u0) = (0, 0)) behandelt werden:
Man betrachtet das linearisierte System
mit der zugehörigen Kalman-Matrix
f(x, u) ≈ 0 + fx(0, 0)x + fu(0, 0)u.
˙x = fx(0, 0)x + fu(0, 0)u := Afx + Bfu
Cf := (Bf, AfBf, . . . , A n−1
f Bf).
Dann kann die folgende Aussage bewiesen werden.
Satz 2.18. Unter den Voraussetzungen rg Cf = n und 0 ∈ int U folgt
0 ∈ int K, bzw. 0 ∈ int N.
2.3 Lineare zeitoptimale Steuerprobleme
In diesem Abschnitt betrachten wir das folgende zeitoptimale Steuerproblem
Minimiere die Endzeit T =
T
1dt
0
unter ˙x = A(t)x + B(t)u, t ∈ (0, T ], (2.16)
x(0) = x0, x(T ) ∈ M1,
u ∈ U.
Hierbei seien A : [0, ∞) → R n×n und B : [0, ∞) → R n×m stetige (Matrix-)Funktionen,
M ⊂ R n eine abgeschlossene Menge und die Steuermenge U ⊂ R m sei ein kompak-
tes konvexes Polyeder, in praktischen Anwendungen ist die Menge der zulässigen
Steuerwerte häufig ein m-dimensionaler Quader (U = [a1, b1] × . . . × [am, bm], ai <
bi ∈ R, i = 1(1)m).
Es bezeichne Φ(t) die Übergangsmatrix (Φ(0) = E) zur homogenen DGL ˙x = Ax.
Dann ist die von x0 aus erreichbare Menge K(t; x0) gegeben durch
K(t; x0) =
Φ(t) x0 +
t
0
Φ −1 (s)B(s)u(s)ds
u ∈ U . (2.17)
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