Vorlesungsskript

Die Kalman-Matrix bzgl. der DGL (2.14) ist gemäß Definition 2.6
C− := (−B, AB, . . . , (−1) n A (n−1) B).
Offensichtlich gilt Im(C−) = Im(C). Daher erhalten wir mit Satz 2.7:
N(t) = K−(t) = K(t), falls U = R m . (2.15)
Bemerkung 2.12. (Zur Bedeutung von 0 ∈ int K(t)): Es sei 0 ∈ int U und
rg C = n. Nach Satz 2.9 ist zu jedem Zeitpunkt t > 0 eine ganze Umgebung von 0
erreichbar.
Wendet man Satz 2.9 auf das System (2.14) an, so gilt
0 ∈ int K−(t) = int N(t), für alle t > 0.
Das bedeutet, daß man von Anfangswerten nahe 0 (etwa bei kleinen Störungen) stets
zurück zur 0 steuern kann.
Für U = R m untersuchen wir jetzt die Mengen
K := ∪t>0K(t), und N := ∪t>0N(t).
Satz 2.13. Es sei U ⊂ R m kompakt, und es gelte 0 ∈ int U. Dann ist N = R n (bzw.
K = R n ) äquivalent zu
(a) rg C = n
(b) für alle Eigenwerte λj von A gilt: Re λj ≤ 0 (bzw. Re λj ≥ 0)
Proof. Wir beweisen nur ein Teilresultat: Falls rg C = n gilt und alle Eigenwerte von
A die Bedingung Re λj < 0 erfüllen, so ist N = R n . Wir wenden Satz 2.9 auf (2.14)
an (vgl. Bemerkung 2.10 -Im(C−) = Im(C) = n) und erhalten 0 ∈ int K−(¯t) = N(¯t)
für beliebiges ¯t > 0. Folglich enthält N eine Nullumgebung V von Zuständen, von
denen aus wir die 0 in der Zeit ¯t erreichen.
Es sei nun x0 ∈ R n beliebig. Mit der Steuerung u ≡ 0 ergibt sich nach der Lösungs-
darstellung für lineare DGL mit konstanten Koeffizienten (siehe Abschnitt 2.1)
x(t; 0) = e At x0 =
k
e λjt
pj(t).
Wegen Re λj < 0 gilt dann x(t; 0) → 0 für t → ∞ (0 ist ein asymptodisch stabiles
Gleichgewicht). Folglich liegt x(t1) ∈ V für ein hinreichend großes t1. Damit ist aber
x0 in der Zeit t = t1 + ¯t nach 0 steuerbar.
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j=1