Vorlesungsskript

ei x0 erfüllt sind (zusätzlich zu originalen NB). Dann ist äquivalent:
(a) Es gilt (ii).
(b) ¯ λ0 = 0 ⇒ es existieren keine (zul.) Lösungen der notw. Beding. mit ¯ λ = 0.
Satz 4.9. Es sei x0 eine normale Lösung von (4.29). Dann existiert genau ein
¯λ ∈ R m , so daß die folgende Bedingung erfüllt ist
δxL(x0, ¯ λ)[y] = 0, ∀y ∈ Z0.
Bemerkung 4.10. Wir setzen ϕ(t, x, ˙x) := f(t, x, ˙x) +
in Stetigkeitsintervallen von x0 die Eulersche Gleichung
d
dt ϕ ˙x(t, x0, ˙x0) = ϕx(t, x0, ˙x0).
m
¯λifi(t, x, ˙x). Dann gilt
Analog gilt die Sekundärgleichung (mit zugehörigen Eckenbedingungen)
ϕ 0 (t) − ˙xϕ 0 t
˙x(t) = ϕ 0 t (s)ds + C, t ∈ [a, b],
und die Weierstaßsche Bedingung
a
i=1
E(t, x0, ˙x0, u) ≥ 0, ∀(t, x0, u) ∈ R.
Man hat auch die Gültigkeit der notwendigen Bedingung zweiter Ordnung,
δ 2 xL(x0, ¯ λ)[y] ≥ 0, ∀y ∈ Z0 mit
δxJi(x0)[y] = 0, i = 1(1)m,
aber daraus kann nicht die Legendresche oder Jacobische Bedingung (in der bisher
behandelten Form) gefolgert werden. Der für endlichdimensionale Aufgaben bekannte
Lagrangesche Formalismus zur Behandlung von (endlich vielen integralen) Unglei-
chungsnebenbedingungen läßt sich analog übertragen.
Fortsetzung von Beispiel 4.7 (Dido-Problem). Die Lagrangefunktion lautet
b √
L(x, λ) = − x + λ · 1 + ˙x 2 , dt ⇒
a
ϕ = −x + λ √ 1 + ˙x 2 ˙x
, ϕx = −1, ϕ ˙x = λ√
1 + ˙x 2
Damit ergibt sich die Eulersche Gleichung
d ˙x
˙x
λ√
= −1 ⇒ λ√
dt 1 + ˙x 2
1 + ˙x 2 = −t + C1 ⇒
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