Vorlesungsskript

Wir betrachten weiter die Funktionenfolge {xn(·)}, xn ∈ Z, mit
⎧
⎨n
· t falls 0 ≤ t ≤
xn(t) =
⎩
1
n ,
1 falls t ∈ ( 1 , 1].
Wir erhalten durch eine einfache Rechnung
lim
n→∞ J (xn(·)) = 0 ⇒ inf{J (x(·)) x(·) ∈ Z} = 0.
Andererseits kann man sich überlegen, daß dieses Infimum in M nicht angenommen
wird, denn
J (x(·)) = 0 ⇒ t 2 ˙x(t) 2 = 0, f.ü. auf [0, 1] ⇒ x(t) ≡ c,
wegen der Stetigkeit von x. Damit lassen sich aber die RB im obigen Problem nicht
erfüllen(!).
1.3 Verallgemeinerungen der Aufgabenstellung
• Die gesuchte Funktion x ist eine Vektorfunktion x = x(t) = (x1(t), . . . , xm(t)) T ∈
R m , ∀t, analog für die Ableitung ˙x ⇒ dann gilt R ⊂ R 2m+1 .
• Im Zielfunktional treten höhere Ableitungen auf:
J x(·) b
:= f(t, x(t), ˙x(t), ¨x, . . .)dt → min
a
- mit gg.falls entsprechender Modifikation bei den Randbedingungen.
• Es werden keine Randbedingungen für die gesuchte Funktion x gestellt: x(a), x(b)
frei ( ” freie Randwerte“ - evtl. nur teilweise).
• Es existieren zusätzliche integrale Nebenbedingungen
b
f1(t, x(t), ˙x(t))dt = (!)c1, c1 ∈ R vorgegeben.
a
• Es treten Terminalfunktionale im Zielfunktional auf (mit freien RW)
J x(·) b
:= g1(x(a)) + g2(x(b)) + f(t, x(t), ˙x(t), ¨x, . . .)dt → min
4
a
n