Vorlesungsskript

Singuläre Steuerungen treten auf, wenn gilt
σ(t) = σ(t, x(t), λ(t)) ≡ 0, für t ∈ [t1, t2]
⇔ λ(t) = −e −δt p − c(x(t))
(+).
Durch Differentiation und Einsetzen obiger Beziehungen erhält man
˙σ = δe −δt p − c(x(t)) + e −δt c ′ (x) ˙x − ˙ λ
= δe −δt p − c(x(t)) + e −δt c ′ (x) ω(x) − u − − e −δt c ′ (x)u − λω ′ (x)
= δe −δt p − c(x(t)) + e −δt c ′ (x)ω(x) + λω ′ (x)
(+)
= e −δt
δ p − c(x(t)) + c ′ (x)ω(x) − p − c(x(t)) ω ′ (x)
≡ 0.
Damit ergibt sich folgende Charakterisierung eines optimalen singulären Zustandes
p − c(x) = δ −1
p ′
− c(x(t)) ω(x) .
Diese Gleichung besitzt eine eindeutige Gleichgewichtslösung xδ, speziell für die
Modellfunktion c(x) = c/x ergibt sich
p − c
x
⇒ p − c
x
p c k
= δ−1 − rx 1 −
x x
′
r
= p −
δ
ck
x2
,
d.h., eine quadratische Bestimmungsgleichung für xδ - mit genau einer positiven
Wurzel für (z.B.) den Fall r > δ.
Die singuläre Steuerung ergibt sich wegen x(t) ≡ xδ aus der Zustandsgleichung
˙x(t) ≡ 0 = ω(x) − u(t) ⇒ u(t) ≡ ω(xδ).
Dies erhält man (natürlich) auch aus der Anwendung der allgemeinen Vorgehens-
weise (vgl. (3.45) und (3.46))
˙σ = e −δt
δ p − c(x(t)) + p − c(x(t)) ω(x) ′
⇒ ¨σ = −δe −δt
−δt ∂
. . . +e . . . ˙x
∂x
≡0
−δt ∂
= e . . .
∂x
⇔ u ≡ ω(x), falls ∂
∂x
ω(x) − u
. . . = 0.
85
≡ 0