Computer-Simulationen struktureller und elastischer ... - KOPS

Elastizitätstheorie
Mathematisch beschreibt man den Verformungsvorgang durch eine affine Abbildung.
Diese ist eine stetige Funktion und garantiert dadurch, daß alle Volumenelemente auch
nach der Verformung fugenlos aneinanderpassen (keine Rissbildung!). Des weiteren soll
zwischen dem Referenzzustand und dem Verzerrungszustand ein eindeutiger Zusammenhang
bestehen. Die lineare Elastizitätstheorie läßt sich durch infinitesimale, affine
Abbildungen beschreiben. Für diese gilt, daß zwei hintereinander ausgeführte Abbildungen
eine zusammengesetzte Abbildung ergeben, die wiederum eine infinitesimale, affine
Abbildung ist. Die Reihenfolge der Ausführung der Abbildungen ist dabei irrelevant.
Eine solche infinitesimale, affine Abbildung ist:
x ′ i = a i0 + (δ ij + a ij x j ) i,j = 1, 2, 3
Der konstante Koeffizient a i0 beschreibt hierbei eine Translation des starren Körpers.
Es ist anzumerken, daß in dieser Arbeit die Einstein’sche Summenkonvention verwendet
wird. D.h. in der Komponentenschreibweise wird über gleiche Indizes innerhalb
einer Gleichung summiert. Zur Interpretation des Tensors a ij zerlegt man diesen in
einen symmetrischen Anteil ɛ ij = 1 2 (a ij + a ji ) und einen antisymmetrischen Anteil
ω ij = 1 2 (a ij − a ji ). Mit Hilfe des Levi-Civita Tensors ɛ ijk kann man den Vektor des
antisymmetrischen Tensors ω k = 1 2 ɛ ijkω ij berechnen, der zur Darstellung des Tensors
selbst verwendet werden kann: ω ij = ɛ ijk ω k . Betrachtet man nun die Änderung δb i ,
welche ein Vektor ⃗ b infolge einer infinitesimalen affinen Abbildung erfährt:
δb i = b ′ i − b i = a ij b j = ω ij b j + ɛ ij b j = ɛ ijk ω k b j + ɛ ij b j = δb i1 + δb i2
so sieht man direkt, daß die vom antisymmetrischen Anteil bewirkte Abbildung δb i1 das
Vektorprodukt der Vektoren ω k und b j ist. Somit beschreibt der antisymmetrische Anteil
eine Drehung des starren Körpers. Für die Analyse des reinen Verzerrungszustands,
arbeitet man daher ausschließlich mit dem symmetrischen Anteil, dem sogenannten Verzerrungstensor
ɛ ij . Zusammenfassend gilt nun für das Verschiebungsfeld:
u i = x ′ i − x i = a i0 + ω ij x j + ɛ ij x j = u i1 + u i2
wobei u i1 die Starrkörperbewegung (Translation und Rotation) und u i2 den reinen Verzerrungszustand
beschreibt. Um die Definition des Verzerrungstensors weiter zu motivieren,
betrachtet man die Abbildung eines Längenelements dl = √ dx 2 1 + dx2 2 + dx2 3
unter einer beliebigen Deformation. Beim Übergang in einen deformierten Zustand geht
diese in dl ′ = √ dx ′2
1 + dx′2 2 + dx′2 3 über. Das Längenelement des deformierten Zustands
läßt sich weiter umformen. Man erhält:
dl ′2 = dx ′2
i
= (dx i + dɛ i ) 2 = dx i dx i + 2dɛ i dx i + dɛ i dɛ i
= dl 2 + 2 ∂ɛ i
∂x k
dx i dx k + ∂ɛ i
∂x k
∂ɛ i
∂x l
dx k dx l = dl 2 + 2ɛ ik dx i dx k
(
Hier ist der Verzerrungstensor ɛ ik wie folgt definiert: ɛ ik = 1 ∂ui
2 ∂x k
+ ∂u k
∂x i
+ ∂u l ∂u l
∂x i ∂x k
). Man
sieht direkt, daß ɛ ik symmetrisch ist: ɛ ik = ɛ ki . Wie bereits diskutiert geht man in der
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