Computer-Simulationen struktureller und elastischer ... - KOPS

Monte Carlo Simulationen
In der praktischen Durchführung einer Monte Carlo Simulation durchläuft man bei der
Erzeugung eines neuen Zustands n folgende Schritte:
1. Berechnung der Energieänderung ∆U = (U(n) − U(a))
2. Fallunterscheidung:
a) ∆U ≤ 0 d.h. der neue Zustand ist energetisch günstiger und
daher N (n) ≥ N (a).
b) ∆U > 0 d.h. der neue Zustand ist energetisch ungünstiger und
daher N (n) < N (a).
3. Entscheidung über Annahme oder Ablehnung des neuen Zustands n: Im Falle a)
wird die Verschiebung immer akzeptiert, wohingegen im Fall b) sie nur mit der
Wahrscheinlichkeit N (n)
N (n)
N (a)
akzeptiert wird. Dies realisiert man, indem
N (a)
mit einer
Zufallszahl aus dem Intervall [0, 1] verglichen wird. Nur falls e −β∆U > Zufallszahl
erfüllt ist, wird die Teilchenverschiebung angenommen.
Des weiteren ist zu beachten, daß der gesamte relevante Phasenraum ergodisch durch
die Stichprobe erfaßt wird, d.h. von jedem Punkt im Phasenraum muß jeder andere
beliebige Punkt im Phasenraum in einer endlichen Anzahl von Monte Carlo Schritten
erreichbar sein. Dies muß bei der Wahl der Vorschrift zur Erzeugung der Markovkette
berücksichtigt werden.
2.1. Monte Carlo Algorithmen
Die einfachste Art eine neue Konfiguration zu erzeugen ist das Verschieben eines einzelnen
Teilchens gemäß :
x n = x a + r max (rand − 0.5)
y n = y a + r max (rand − 0.5)
wobei rand eine Zufallszahl aus dem Intervall [0, 1] ist und r max die maximale Verschiebung
darstellt. N solche Versuche ein einzelnes Teilchen zu verschieben, werden als ein
Mont-Carlo Schritt (MCS) bezeichnet. In der Literatur (z.B. [37]) werden die Vor- und
Nachteile der Verschiebung eines einzelnen Teilchens im Vergleich zur gleichzeitigen Verschiebung
mehrerer, zufällig ausgewählten Teilchen und die optimale Wahl der Größe von
r max diskutiert. Je nach zu untersuchendem, physikalischen System sind unterschiedliche
Konzepte erfolgreich.
In den in dieser Arbeit untersuchten Harte Scheiben Mischungen wird wie folgt vorgegangen.
Die maximale Verschiebung für Einteilchen-Verschiebungen wird während der
Äquilibrierung des Systems so angepaßt, daß sich eine Akkzeptanzrate von ungefähr
50% ergibt. Dabei hat es sich als hilfreich erwiesen, die beiden Teilchensorten getrennt
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