Computer-Simulationen struktureller und elastischer ... - KOPS

= 1 NV z
∑
2 V 2
= 1 1 ∑
2 V
= 1 1
2 V
⃗ k
{
⃗ k
{
Verzerrungskorrelationen im Festkörper
a 1 ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ k + c 1(k 2 x + k 2 y)ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ k + c′ 1(k 2 x + k 2 y) 2 ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ k + · · · }
a 1 ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ k + c 1(k 2 x + k 2 y)ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ k + c′ 1(k 2 x + k 2 y) 2 ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ k + · · · }
∑ {
⃗ k
}
a 1 ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ + a k
2ẽ 2, ⃗ k ẽ ∗ 2, ⃗ + a k
3ẽ 3, ⃗ k ẽ ∗ 3, ⃗ + c k
1k 2 ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ + c k
2k 2 ẽ 2, ⃗ k ẽ ∗ 2, ⃗ k
+c 3 k 2 ẽ 3, ⃗ k ẽ ∗ 3, ⃗ k + c′ 1k 4 ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ k + c′ 2k 4 ẽ 2, ⃗ k ẽ ∗ 2, ⃗ k + c′ 3k 4 ẽ 3, ⃗ k ẽ ∗ 3, ⃗ k
Bei der letzten Umformung wurde eine abkürzende Schreibweise eingeführt. k 2 steht für
das Skalarprodukt des Wellenvektors ⃗ k 2 = (k 2 x + k 2 y) und k 4 steht für das Quadrat des
Skalarprodukts ( ⃗ k 2 ) 2 = (kx 2 +ky) 2 2 = (kx 4 +2kxk 2 y 2 +ky). 4 Verwendet man nun die durch die
hergeleiteten mathematischen Kerne ˜Q ij beschriebenen Zusammenhänge zwischen den
einzelnen Verzerrungen, so läßt sich die Freie Energie z.B. vollständig in Abhängigkeit
von ẽ 1 formulieren:
βF = 1 1 ∑
{a 1 + k 2 c 1 + k 4 c ′ 1 + (a 2 + c 2 k 2 + c ′
2 V
2k 4 )( ˜Q 21 ( ⃗ k)) 2
⃗ k
+ (a 3 + c 3 k 2 + c ′ 3k 4 )( ˜Q 31 ( ⃗ k)) 2 }ẽ 1, ⃗ k ẽ ∗ 1, ⃗ k
Mit Hilfe des so formulierte Landau Funktionals können nun die Zweipunkt-Korrelationsfunktionen
des Ordnungsparameters im Fourier Raum analytisch berechnet werden. Man
startet mit der Definition der Korrelationsfunktionen:
G ii (⃗r, ⃗r ′ ) = 〈e i (⃗r)e i (⃗r ′ )〉 − 〈e i (⃗r)〉〈e i (⃗r ′ )〉 = 〈e i (⃗r)e i (⃗r ′ )〉
= 1 ∑
V 2 e i((⃗ k·⃗r)( ⃗ k ′·⃗r ′)) 〈ẽ ⃗k ẽ ⃗k ′〉
⃗ k ⃗ k ′
Da die Mittelwerte der Verzerrungen 〈e i (⃗r)〉 im Kristall ohne Last gleich Null sind,
fällt der zweite Summand weg. Zunächst wird der Mittelwert der Fourier Koeffizienten
berechnet:
〈ẽ ⃗k ẽ ⃗k ′〉 =
∫ ∞
−∞ dẽ ⃗ k1
dẽ ⃗k2 · · · dẽ ⃗k · · · dẽ ⃗k ′ · · · e −βF ẽ ⃗k ẽ ⃗k ′
∫ ∞
−∞ dẽ ⃗ k1
dẽ ⃗k2 · · · dẽ ⃗k · · · dẽ ⃗k ′ · · · e −βF
Die Integration erstreckt sich über den gesamten Fourier Raum, d.h. sowohl reelle als
auch imaginäre Anteile. Es gilt ẽ ⃗k = ẽ ∗ ⃗ −k
, so daß sich die Gleichung auf folgende Form
bringen läßt:
〈ẽ ⃗k ẽ ⃗k ′〉 =
∫ ∞
−∞ dẽ ⃗ k
dẽ ⃗k ′e −β2F ẽ ⃗k ẽ ⃗k ′
∫ ∞
−∞ dẽ ⃗ k
dẽ ⃗k ′e −β2F =
∫ ∞
−∞ dẽ ⃗ k
dẽ ⃗k ′e − 2
2V A(⃗ k)ẽ ⃗k ẽ ∗ ⃗ k e − 2
2V A(⃗ k ′ )ẽ ⃗k ′ẽ ∗ ⃗ k′ e ⃗k e ⃗k ′
∫ ∞
−∞ de ⃗ k
de ⃗k ′e − 2
2V A(⃗ k)ẽ ⃗k ẽ ∗ ⃗ k e − 2
2V A(⃗ k ′ )ẽ ⃗k ′ẽ ∗ ⃗ k ′
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