Computer-Simulationen struktureller und elastischer ... - KOPS

Ergebnisse der Korrelationsanalyse
zu erkennen. Die Grenzwertbetrachtungen in Kapitel 9.1 sagen einen Sprung um einen
Faktor 30 bei der betrachteten Federkonstante f voraus. Wie man aus der Darstellung
von ˜G 11 ( ⃗ k) entlang der Richtung k y = 2k x in Abbildung 10.3 a) ablesen kann, ist die
Diskontinuität in der Simulation nicht so stark ausgeprägt. Sie springt beim Übergang
nach ⃗ k = ⃗0 lediglich um einen Faktor 1.5 nach oben. Diese Abweichung von den Vorhersagen
der Landau Gitterfeldtheorie weisen darauf hin, daß das ausschließlich in den
affinen Verzerrungen formulierte Landau Funktional nicht alle Anregungen im System
erfaßt. Wie in Kapitel 13 noch ausführlicher diskutiert, treten in den Simulationen auch
nicht-affine, lokale Verzerrungen in einem nicht zu vernachlässigenden Maße auf. Diese
führen zu den beobachteten Abweichungen.
Eine gute Übereinstimmung mit den analytischen Vorhersagen findet man in Abbildung
10.2 b) und c). Hier zeigen sich gut die erwarteten kontinuierlichen Verläufe für ⃗ k → ⃗0
der Korrelationsfunktionen ˜G 22 ( ⃗ k) entlang der Diagonalen und der Korrelationsfunktion
˜G 33 ( ⃗ k) entlang der Koordinatenachsen. Entlang dieser Richtungen entkoppeln die Verzerrungsfluktuationen
und die elastischen Module a 2 (bzw. a 3 ) und Korrelationslängen
c 2 und c ′ 2 (bzw. c 3 und c ′ 3 ) können durch das Anfitten eines verallgemeinerten Lorentzprofils
bestimmt werden. So erhält man z.B. für das System mit N = 3120 Teilchen
die Korrelationslängen c 2 = 34.3, c ′ 2 = −0.6, c 3 = 114.1 und c ′ 3 = −17.6. Die mittleren
elastischen Korrelationslängen ξ el ∼ √ c i sind somit ca. 6 bzw. 11 Gitterparameter.
Abbildung 10.3 zeigt Schnitte der Korrelationsfunktionen entlang der soeben besprochenen
Richtungen im Fourier Raum für verschieden große simulierte Systeme. Prinzipiell
erlaubt ein größeres System bei einem gleichen Maß der Vergröberung Λ −1 eine Beschreibung
des Systems durch eine größere Anzahl von Gitterpunkten. Dies führt im
Fourier Raum zu einer feineren Auflösung der diskreten, möglichen Wellenvektoren ⃗ k.
D.h. es können Strukturen in den Korrelationsfunktionen detaillierter aufgelöst werden.
Die Abhängigkeit der berechneten Korrelationsfunktionen ˜G jj ( ⃗ k) (j = 1, 2, 3) von der
Systemgröße ist aber gering, wie man Abbildung 10.3 entnehmen kann. Für große Wellenvektoren
fallen die Korrelationsfunktionen der unterschiedlich großen Systeme aufeinander.
Lediglich für kleine Wellenvektoren erkennt man leichte Abweichungen. Die
Diskontinuität in ˜G 11 ( ⃗ k) in Abbildung 10.3 a) wird etwas schärfer. Die Struktur von
˜G 33 ( ⃗ k) und ˜G 2θ2θ ( ⃗ k) in Abbildung 10.3 c) und d) variiert leicht, wobei ˜G33 (⃗0) und damit
auch der elastische Modul a 3 nicht davon betroffen ist. Die Korrelationsfunktion
˜G 2θ2θ ( ⃗ k) ist hier auch wiedergegeben. Sie erlaubt die Berechnung des Schermoduls in
einem eingebetteten System (vergleiche Kapitel 9.4). Die periodischen Randbedingungen
täuschen eine solche Einbettung in ein unendlich ausgedehntes Medium insoweit
vor, daß aus dem Verlauf von ˜G 2θ2θ ( ⃗ k) für ⃗ k → ⃗0 der Schermodul bestimmt werden
kann. Da aber keine ”echte” Einbettung in ein unendlich ausgedehntes System besteht,
geht ˜G 2θ2θ (⃗0) selbst gegen Null. ˜G2θ2θ (⃗0) in Abbildung 10.3 d) zeigt, wie empfindlich
die Korrelationsfunktion auf eine Einbettung reagiert. Bei der Berechnung der Korrelationsfunktionen
im NpT -Ensemble mit periodischen Randbedingungen können diese
nur über eine quadratische Fläche berechnet werden, welche etwas kleiner als die Fläche
der mittleren Simulationsbox, sprich des Referenzgitters ist. Berücksichtigt man dies
nicht, so führt man Artefakte in die Auswertung ein. Je stärker jedoch die Fläche, über
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