Computer-Simulationen struktureller und elastischer ... - KOPS

Verzerrungskorrelationen im Festkörper
Aus diesen Vorüberlegungen kann man das Verhalten der mathematischen Kerne ablesen:
˜Q 12 =
˜Q 13 =
˜Q 23 =
{ ( ) (
0 für k x = k y
− a3 −2a 2 k 2
) ( )
y
2a 1 +a 3
= − a3 −2a 2
ky
2 2a 1 +a 3
für k x → 0 , k y ≠ 0
( ) ( ) ( )
a3 −2a 2 k 2
x
2a 1 +a 3
= a3 −2a 2
kx
2 2a 1 +a 3
für k y → 0 , k x ≠ 0
{ ( ) ( ) ( )
4a 2 −2a 3 k 2
x
a 1 +a 2
= 4a2 −2a (
3 1
)
2kx
2 a 1 +a 2 2
für k x = k y
{ ∞ für kx = k y
0 für k x → 0 , k y ≠ 0
0 für k y → 0 , k x ≠ 0
0 für k x → 0 , k y ≠ 0
0 für k y → 0 , k x ≠ 0
Einsetzen der mathematischen Kerne in die Korrelationsfunktionen ergibt:
˜G −1
11 (⃗ k) =
˜G −1
22 (⃗ k) =
˜G −1
33 (⃗ k) =
{
∞ , k x = k y ≠ 0
∞ , k x → 0 , k y ≠ 0
∞ , k x → 0 , k y ≠ 0
{ a2 + c 2 k 2 + c ′ 2 k4 , k x = k y ≠ 0
∞ , k x → 0 , k y ≠ 0
∞ , k x → 0 , k y ≠ 0
{
∞ , k x = k y ≠ 0
a 3 + c 3 k 2 + c ′ 3 k4 , k x → 0 , k y ≠ 0
a 3 + c 3 k 2 + c ′ 3 k4 , k y → 0 , k x ≠ 0
Man erkennt, daß für die Korrelationen der deviatorischen und der Scherfluktuationen
Richtungen im Fourier Raum existieren, in denen die Verzerrungsvariablen entkoppeln.
Die Betrachtung der einzelnen Grenzfälle wurde an den Kehrwerten der Korrelationsfunktionen
˜G jj ( ⃗ k) −1 durchgeführt, da diese sich kompakter darstellen lassen. In Abbildung
9.4 dargestellt sind nun aber Schnitte der Verzerrungskorrelationsfunktionen ˜G jj ( ⃗ k)
selbst im Fourier Raum [96]. Für die Korrelationsfunktion der deviatorischen Fluktuationen
und die der Scherfluktuationen sind die Richtungen, in denen der Grenzübergang
⃗ k → ⃗0 kontinuierlich ist, abgebildet. Für ˜G 22 ( ⃗ k) sind dies die Diagonalen, für ˜G 33 ( ⃗ k) hingegen
sind es die Koordinatenachsen. In diesen Richtungen kann ein Fit mit einem verallgemeinerten
Lorentzprofil durchgeführt werden. D.h. aus einem Fit von ˜G 22 entlang der
Diagonalen erhält man als Fitparameter den Schermodul a 2 und die Korrelationslängen
c 2 und c ′ 2 . Fitten entlang der Koordinatenachsen im Fourier Raum von ˜G 33 hingegen,
erlaubt die Bestimmung des Schermoduls a 3 und den zugehörigen Korrelationslängen c 3
und c ′ 3 . Somit sind 6 der 9 Parameter durch Fitten mit einem verallgemeinerten Lorentzprofil
bestimmbar. Die Korrelationsfunktion der Volumenfluktuationen ist in keiner
der bisher betrachteten Richtungen im Fourier Raum sinnvoll auszuwerten. Daher betrachten
wir nun den Fall k y = 2k x , d.h. k x k y = 2kx, 2 k 2 = 5kx 2 und kx 2 − ky 2 = −3kx. 2 In
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