Computer-Simulationen struktureller und elastischer ... - KOPS

Elastizitätstheorie
linearen Elastizitätstheorie von infinitesimalen Verzerrungen aus. In diesem Fall wird
der nicht-lineare Anteil des Verzerrungstensors vernachlässigbar klein, so daß gilt:
ɛ ik = 1 ( ∂ui
+ ∂u )
k
2 ∂x k ∂x i
Die Diagonalelemente des Verzerrungstensors entsprechen Dehnungen, wohingegen die
außerhalb der Diagonale stehenden Komponenten als Scherungen bezeichnet werden.
So sieht man, wenn man die Deformation einer Einheitskugel in ein Ellipsoid betrachtet,
daß diese Komponenten die halbe Winkeländerung der ursprünglich rechten Winkel
zwischen der x i - und der x k - Achse angeben. Die Volumendehnung, bzw. relative Volumenänderung
δV/V , ergibt sich aus der Summe der Diagonalelemente ɛ ii und ist die erste
Invariante des Verzerrungstensors. Diese physikalischen Interpretationen legen eine weitere
Zerlegung des Verzerrungstensors nahe. Er läßt sich als Summe aus dem Kugeltensor
ɛ kk δ ij /3 (bzw. ɛ kk δ ij /2 in zwei Dimensionen), der die Volumendehnung (reine Dilatation)
beschreibt, und dem Verzerrungsdeviator ɛ (0)
ij = ɛ ij − ɛ kk δ ij /3 (bzw. ɛ (0)
ij = ɛ ij − ɛ kk δ ij /2
in zwei Dimensionen), der volumentreue Verzerrungen beschreibt, schreiben.
Damit sich die Komponenten des Verschiebungsvektors ⃗u eindeutig aus den sechs Komponenten
des Verzerrungstensors ɛ ij berechnen lassen, müssen diese den Kompatibilitätsbedingungen
von St. Venant genügen (benannt nach Adhémar Jean Claude Barré
de Saint-Venant (1797-1886); siehe z.B. [85, 86] und Referenzen darin). Zur Herleitung
der Kompatibilitätsbedingungen muß man zwischen Lagrange’schen (materiellen) Koordinaten
ξ i und Euler’schen (lokalen) Koordinaten x i unterscheiden. Für die bisher dargelegte,
lineare Elastizitätstheorie, bei der ausschließlich kleine Verformungen betrachtet
werden, unterscheiden sich diese Betrachtungsweisen kaum. Sie werden daher als identisch
angesehen. In der Lagrange’schen Betrachtungsweise ist der Betrachter fest mit dem
Volumenelement verbunden. Im undeformierten Zustand wird ein Punkt im betrachteten
Volumenelement durch die Koordinaten ξ i = x i , i = 1, 2, 3 angegeben. Nach der Deformation
befindet sich dieses Volumenelement räumlich an einem anderen Punkt, der in
der Lagrange’schen Betrachtung durch x i = x i (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) bestimmt ist. D.h. die Lagrange’schen
Koordinaten werden als unabhängige Variablen aufgefaßt. Im Gegensatz dazu
ist der Beobachter in der Euler’schen Betrachtungsweise raumfest. Die bei der Deformation
an dieser raumfesten Position vorbeiziehenden Volumenelemente sind durch ihre
Lagrange’schen Koordinaten gekennzeichnet: ξ i = ξ i (x 1 , x 2 , x 3 ). In diesem Fall sind die
Euler’schen Koordinaten die unabhängigen Koordinaten, welche zur Beschreibung der
Eigenschaften oder Zustände des Körpers genutzt werden. Man vergleicht nun nocheinmal
die Quadrate des Linienelements im undeformierten (dl 2 = dξ i dξ i = δ ij dξ i dξ j ) und
im deformierten (dl ′2 = dx i dx i ) Kontinuum. Aufgrund der Verknüpfung zwischen den
beiden Betrachtungsweisen läßt sich das Linienelement des verzerrten Zustands mit Hilfe
des Maßtensors g αβ des verzerrten Kontinuums umschreiben:
dl ′2 = dx i dx i = ∂x i
∂ξ α
∂x i
∂ξ β
dξ α dξ β = g αβ dξ α dξ β
Berücksichtigt man nun die Definition des Verzerrungstensors, so erhält man einen Zu-
111