Computer-Simulationen struktureller und elastischer ... - KOPS

Elastizitätstheorie
den Komponenten des Verzerrungs- und des Spannungstensors her. Formal wird dieser
Zusammenhang durch das verallgemeinerte Hook’sche Gesetzt beschrieben:
σ ij = C ijkl ɛ kl
Dabei ist der Elastizitätstensor C ijkl ein Tensor 4. Stufe, dessen Komponenten in homogenen
Medien ortsunabhängig sind. Das so formulierte, verallgemeinerte Hook’sche
Gesetz gilt für Situationen ohne äußere Spannungen. Mit äußeren Spannungen verwendet
man den Tensor der elastischen Steifigkeiten B ijkl , um die sogenannten Spannungs-
Verzerungs-Relationen anzugeben:
σ ij (⃗x, T ) = σ ij (⃗x Start , T ) + B ijkl ɛ kl + · · ·
Die Elemente des Tensors der elastischen Steifigkeiten B ijkl sind mit dem Tensor der
elastischen Konstanten über die folgende Beziehung verknüpft.
B ijkl = 1 2 (σ ilδ jk + σ jl δ ik + σ ik δ jl + σ jk δ il − 2σ ij δ kl ) + C ijkl (6.1)
Im Spezialfall eines isotropen äußeren Drucks −p = (σ xx + σ yy + σ zz )/3 (bzw.−p =
(σ xx + σ yy )/2 in zwei Dimensionen) vereinfacht sich dieser Zusammenhang auf:
B ijkl = −p (δ jl δ ik + δ il δ jk − δ ij δ kl ) + C ijkl
Der Tensor der Nachgiebigkeiten S ijkl ist das Inverse des Tensors der elastischen Steifigkeiten.
Seine Elemente können aus den mikroskopischen Fluktuationen der Verzerrungen
ɛ ij berechnet werden. Diese bieten daher einen Zugang zur Berechnung des Tensors der
elastischen Konstanten. Die folgenden Überlegungen werden für den Spezialfall eines
zweidimensionalen Systems im thermodynamischen Gleichgewicht dargelegt.
Isotrope Festkörper
Wie bereits diskutiert kann die Dichte der Freien Energie in den Verzerrungen ɛ ij entwickelt
werden. Es sei nun der isotherme Fall, d.h. T = konstant, betrachtet. Im undeformierten
Körper gilt ɛ ij = 0. Wirken auf ihn keine äußeren Kräfte ein, so muß auch für die
inneren Spannungen σ ij = 0 gelten. Dies ist gleichbedeutend mit der Forderung, daß die
∂F
Dichte der Freien Energie im Gleichgewichtszustand ein Minimum hat:
∂ɛ ik
= σ ik = 0.
Die Dichte der Freien Energie ist ein Skalar. Es lassen sich 2 unabhängige Skalare zweiten
Grades aus den Komponenten ɛ ik des Verzerrungstensors konstruieren:
ɛ 2 ii = (ɛ 11 + ɛ 22 ) 2 und ɛ 2 ik = ɛ2 11 + ɛ 2 12 + ɛ 2 21 + ɛ 2 22
So ergibt sich als Summe dieser Skalare folgender allgemeiner Ausdruck für die Dichte
der Freie Energie eines deformierten isotropen Körpers:
F = F 0 + λ 2 ɛ2 ii + µɛ 2 ik (6.2)
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