Computer-Simulationen struktureller und elastischer ... - KOPS

= 1 V
= 1 V
1 ∑
4a 2 ẽ (p,q) e i 2π (pn+qm)a[ ( L e i 2π L pa e i 2π L qa − e −i 2π qa) L
p,q
−e −i 2π L pa ( e i 2π L qa − e −i 2π L qa) ]
i ∑
2a 2 ẽ (p,q) e i 2π L
[sin
(pn+qm)a
p,q
( ) ( )]
2π 2π
L qa 2i sin
L pa
( ) ( )
ẽ (p,q) e i 2π 2π 2π
L (pn+qm)a sin
L qa sin
L pa
= − 1 1 ∑
V a 2 p,q
= 1 (
e(n+1,m+1) − e (n+1,m−1)
2a
2a
≈
∂2 e
∂y∂x
− e )
(n−1,m+1) − e (n−1,m−1)
2a
Die Kompatibilitätsbedingung von St. Venant schreibt sich nun als:
⃗∆ 2 e 1 − (∆ 2 x − ∆ 2 y)e 2 − 4∆ x ∆ y e 3 = 0
Einsetzen der Definitionen der diskreten Fourier Transformationen ergibt:
1 1 ∑
( ) ( ) ]
V 2a 2 ẽ 1,(p,q) e i 2π 4π 4π
L
[cos
(pn+qm)a L pa − 1 + cos
L qa − 1
p,q
− 1 1 ∑
( ) ( ) ]
V 2a 2 ẽ 2,(p,q) e i 2π 4π 4π
L
[cos
(pn+qm)a L pa − 1 − cos
L qa + 1
p,q
− 4 −1 ∑
( ) ( )]
V a 2 ẽ 3,(p,q) e i 2π 2π 2π
L
[sin
(pn+qm)a L pa sin
L qa = 0
p,q
Anhang B
bzw.
∑
p,q
− cos
(
1
2ẽ1,(p,q)
[ ( ) ( ) ]
4π 4π
cos
L pa + cos
L qa − 2 − 1 [ ( ) 4π
cos
2ẽ2,(p,q) L pa
( ) 4π ] [ ( ) ( )] ) 2π 2π
L qa + 4ẽ 3,(p,q) sin
L pa sin
L qa e i 2π L (pn+qm)a = 0
Der gesamte Ausdruck wird nun in den Fourier Raum transformiert.
(
∑ ∑ 1
V
N
n,m
− cos
p,q
2ẽ1,(p,q)
[ ( ) ( ) ]
4π 4π
cos
L pa + cos
L qa − 2 − 1 [ ( ) 4π
cos
2ẽ2,(p,q) L pa
( ) 4π ] [ ( ) ( )] ) 2π 2π
L qa + 4ẽ 3,(p,q) sin
L pa sin
L qa e i 2π L (pn+qm)a e −i 2π L (p′ n+q ′ m)a
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