Computer-Simulationen struktureller und elastischer ... - KOPS

Verzerrungskorrelationen im Festkörper
schreiben. Diese Form entspricht der Gauß’schen Näherung (siehe [93]) und ermöglicht
erst die analytische Berechnung der Korrelationsfunktion, da nun die Zustandssumme
faktorisiert.
Bei der weiteren Herleitung muß zwischen dem Fall ⃗ k = ⃗0, für den man direkt die
elastischen Konstanten ablesen kann, und dem Fall, daß sowohl k x ≠ 0 als auch k y ≠ 0
gilt, unterscheiden.
Zunächst werden sogenannte mathematische Kerne ˜Q ij , hergeleitet, die den Zusammenhang
zwischen der Verzerrung ẽ i und der Verzerrung ẽ j angeben. Gleichung (9.3) kann
man jeweils nach einer Verzerrung auflösen und erhält
ẽ 1 = 1 k 2 (
(k
2
x − k 2 y)ẽ 2 + 4k x k y ẽ 3
)
(9.4)
bzw.:
oder:
ẽ 2 =
1 ( )
k2ẽ (kx 2 − ky)
2 1 − 4k x k y ẽ 3
ẽ 3 = 1
4k x k y
( k2ẽ 1 − (k 2 x − k 2 y)ẽ 2
)
(9.5)
(9.6)
Die Gleichungen (9.1) und (9.2) lassen sich zu einer Gleichung zusammenfassen:
k 2 a 1 ẽ 1 + (k 2 x − k 2 y)a 2 ẽ 2 + 2k x k y a 3 ẽ 3 = 0
Setzt man nun die Gleichung (9.4) für ẽ 1 in diese Gleichung ein und löst nach ẽ 2 auf, so
erhält man den mathematischen Kern ˜Q 23 :
( ) ( )
4a1 + 2a 3 kx k y
ẽ 2 = −
a 1 + a 2 kx 2 − ky
2 ẽ 3 = ˜Q 23 ẽ 3
Einsetzten von Gleichung (9.5) für ẽ 2 ergibt den mathematischen Kern ˜Q 13 :
( ) ( )
2a3 − 4a 2 kx k y
ẽ 1 = −
a 1 + a 2 k 2 ẽ 3 = ˜Q 13 ẽ 3
und durch Einsetzen von Gleichung (9.6) für ẽ 3 ergibt sich der mathematische Kern ˜Q 12 :
( ) ( )
a3 − 2a 2 kx 2 − ky
2 ẽ 1 =
2a 1 + a 3 k 2 ẽ 2 = ˜Q 12 ẽ 2
Ziel der folgenden Rechnungen ist es das Funktional der Freien Energie im Fourier Raum
darzustellen und eine Verbindung zu den Zweipunkt-Korrelationsfunktionen in den Verzerrungen
aufzuzeigen. Dies soll im Rahmen einer Gitterfeldtheorie, wie am Anfang des
Kapitels dargelegt, geschehen. Da auch die Auswertung dieser Größen in den Simulationen
(und auch im Experiment) auf dem diskreten Gitter der vergröberten Variablen
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