Computer-Simulationen struktureller und elastischer ... - KOPS

Ergebnisse der Korrelationsanalyse
20
βa 2 p = 0.0
βa 2 p = 20/ 3
y
0
-20
-20 0 20
x
Abbildung 10.4: Vergleich der Referenzgitter einer Simulation eines harmonischen Dreiecksgitters mit
fester Federkonstante βa 2 f = 200/ √ 3 bei einem hydostatischen Druck von βa 2 p = 0.0 (schwarze Punkte)
und einer Simulation bei βa 2 p = 20/ √ 3 (rote Punkte). Die Gitterkonstante a = (2/ √ 3) 1/2 schrumpft
unter Einfluß des Drucks auf a ′ = 1.010465.
Abbildung 10.4). In Abbildung 10.5 sind die bezüglich dieses neuen Referenzgitters berechneten
Verzerrungskorrelationsfunktionen im Fourier Raum dargestellt. Wie erwartet,
beeinflußt ein isotrop auf das System einwirkender äußerer Druck die Symmetrien
der Korrelationsfunktionen nicht. Zum direkten Vergleich mit den Simulationen ohne
äußeren Druck sind in Abbildung 10.6 Schnitte der Korrelationsfunktionen im Fourier
Raum für beide Simulationen abgebildet. Diese Darstellung verdeutlicht, daß die Form
der Korrelationen durch den isotropen Druck unbeeinflußt bleibt. Der absolute Wert der
Korrelationsfunktionen verschiebt sich. Diese Verschiebung entspricht einerseits einer
Reskalierung der elastischen Module, da diese nun auf das neue Referenzgitter mit einer
kleineren Gitterkonstante bezogen sind, andererseits werden die deviatorischen und die
Scherfluktuationen durch den äußeren Druck eingeschränkt. Aus der Korrelationsfunktion
˜G 22 ( ⃗ k) erhält man daher a 2 = µ − p und aus ˜G 33 ( ⃗ k) erhält man a 3 = 4(µ − p).
Daß nur der Wert des Schermoduls durch den isotropen Druck, nicht aber der Wert des
Kompressionsmoduls verschoben wird, erkennt man, wenn man sich in Erinnerung ruft,
daß die Fluktuationen der Verzerrungen die Elemente des Nachgiebigkeitstensors S ijkl
bestimmen. Dieser ist das Inverse des Tensors der elastischen Steifigkeiten B ijkl , welcher
ausschließlich in Systemen ohne äußere Spannungen mit dem Tensor der elastischen
Konstanten C ijkl zusammenfällt (siehe Kapitel 6 Gleichung 6.1). Aus den ermittelten
Nachgiebigkeiten S ijkl , berechnen wir daher die elastischen Steifigkeiten B ijkl , für die im
Falle eines isotropen, äußeren Drucks gilt:
1
2 (B xxxx + B xxyy ) = 1 2 (C xxxx + C xxyy ) − 1 (p − p) = K
2
1
2 (B xxxx − B xxyy ) = 1 2 (C xxxx − C xxyy ) − 1 (p + p) = µ − p
2
B xyxy = C xyxy − p = µ − p
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