Computer-Simulationen struktureller und elastischer ... - KOPS

KAPITEL 2
Monte Carlo Simulationen
Viele interessante Eigenschaften physikalischer Systeme lassen sich bei Kenntnis der
Zustandssumme des Systems im Rahmen der Statistischen Mechanik direkt berechnen.
So auch der thermische Mittelwert einer Observablen A. Die kanonische Zustandssumme
ist wie folgt definiert:
Q N (V, T ) =
∫
1
h 3N N!
d ⃗ Γe −βH(⃗ Γ) =
1
N!Λ 3N Z N(V, T )
mit β = 1/k B T , T der Temperatur im System, k B der Boltzmann Konstante und h dem
planckschen Wirkungsquantum. Hierbei ist H( ⃗ Γ) = ∑ N ⃗p 2 i
i=1 2m
+U(⃗r) die Hamilton Funktion
des betrachteten Systems und U(⃗r) das Wechselwirkungspotential zwischen den N
Teilchen der Masse m im System. Nach der Integration über die Impulse bleibt noch das
Konfigurationsintegral Z N (V, T ) = ∫ d⃗r N e −βU(⃗rN ) zu lösen. Λ = √ h 2 /2πmk B T ist die
thermische de Broglie-Wellenlänge. Im kanonischen Ensemble gilt, sofern die Observable
A keine Funktion der Impulse ist, d.h. A(Γ) = A(⃗r N ):
〈A〉 NV T =
∫
1
h 3N N!Q N (V, T )
∫
d ⃗ d⃗r
ΓAe −βH(⃗Γ) N Ae −βU(⃗rN )
= ∫
d⃗r N e −βU(⃗rN )
Die direkte numerische Evaluation solcher multidimensionaler Integrale auf einem Gitter
von Stützstellen ist im Allgemeinen extrem aufwendig. Der 1953 von Metropolis et
al. [34] eingeführte Monte Carlo Importance Sampling Algorithmus hingegen ermöglicht
die numerische Berechnung thermischer Mittelwerte, da er den numerischen Aufwand
erheblich reduziert. In Monte Carlo Simulationen wird an Stelle des exakten Integrals
für die Zustandsfunktion die Summe über eine charakteristische Untermenge von Punkten
⃗r i im Phasenraum ausgewertet. Werden die Stützstellen zufällig ausgewählt, ’Simple
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