Computer-Simulationen struktureller und elastischer ... - KOPS

Verzerrungskorrelationen im Festkörper
Minimierung des Fehlers in der affinen Abbildung
Die lineare Elastizitätstheorie nimmt an, daß jede auftretende Konfiguration durch
eine affine Abbildung aus dem Referenzgitter (Positionen ⃗ R) gewonnen werden
kann, d.h. für jeden Punkt ⃗r in der Konfiguration gilt:
⃗r = ⃗ R + ⃗u( ⃗ R) = (1 + ɛ) ⃗ R
wobei der Verzerrungstensor ɛ selbst ortsabhängig sein kann. Folgt man der Idee
von Falk und Langer [100], so kann man den Verzerrungstensor dadurch ermitteln,
daß man das mittlere Quadrat des Fehlers (D 2 ) zwischen der so berechneten und der
tatsächlich vorliegenden Konfiguration minimiert. Diese Größe gibt allgemein an,
wie gut sich die gegebene Situation durch die lineare Elastizitätstheorie beschreiben
läßt. Sie ist ein Maß für die Nicht-Affinität des vorliegenden Verschiebungsfeldes.
Falk und Langer betrachten in ihrer Arbeit die zeitliche Entwicklung einer
Teilchenkonfiguration. In den in dieser Arbeit vorgenommenen Untersuchungen ist
jedoch der Vergleich mit dem im thermodynamischen Gleichgewicht vorliegenden
Referenzgitter von Interesse. Daher wird folgende analoge Definition verwendet:
D 2 (⃗r 0 ) =
N B ∑
m=1 i=1
⎛
2∑
⎝rm i − r0 i −
⎞
2∑
(δ ij + ɛ ij )[Rm j − Ro]
j ⎠
Hierbei ist ⃗r 0 die Position, an der der Verzerrungstensor bestimmt werden soll, und
N B die Anzahl der Nachbarteilchen, die in dieser Berechnung berücksichtigt werden.
Der Nicht-Affinitätsparameter D 2 wird durch den wie folgt, zu berechnenden
Verzerrungstensor, minimiert:
j=1
2
ɛ ij =
2∑
k
X ik Y −1
jk
− δ ij
mit
X ij = ∑ m
Y ij = ∑ m
[r i m − r i 0] · [R j m − R j 0 ]
[R i m − R i 0] · [R j m − R j 0 ]
Beide Verfahren sind gleichwertig. Jedoch wurde in den Studien der Verzerrungskorrelationsfunktionen
das Minimierungsverfahren bevorzugt, da die Analyse des Nicht-
Affinitätsparameters D 2 und seiner Autokorrelationsfunktion eine weitergehende Analyse
der Systemeigenschaften ermöglicht.
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