Computer-Simulationen struktureller und elastischer ... - KOPS

Elastizitätstheorie
die bei Auslenkungen aus der thermodynamischen Gleichgewichtsposition als Rückstellkräfte
wirken. Die in der Elastizitätstheorie betrachteten Abstände müssen groß gegenüber
dem Wirkungsradius dieser Molekularkräfte sein. Es wird davon ausgegangen,
daß der Wirkungsradius gegen Null geht und die Rückstellkräfte Nahwirkungskräfte
sind, die nur nächste Nachbarn beeinflussen. Diese Situation ist insbesondere in Harte
Scheiben Systemen ideal verwirklicht! Der Spannungstensor σ ij gibt die Kraft pro
Einheitsfläche des unverzerrten Zustands an, welche über Nahkräfte auf diese ausgeübt
wird. Hierbei ist es Konvention die Flächennormale ⃗n des Flächenelements nach außen
abzutragen. Der Spannungszustand eines beliebigen Punktes des Kontinuums läßt sich
vollständig durch die Angabe von drei Spannungsvektoren beschreiben. Dabei dürfen
die den Punkt selbst enthaltenden Bezugsflächen nicht komplanar sein. Zumeist werden
von einem orthongonalen Koordinatensystem aufgespannte Flächen als Bezugsflächen
gewählt. Schreibt man diese drei Spannungsvektoren in Form einer Matrix, so erhält
man die Matrixdarstellung des Spannungstensors σ ij . Betrachtet man ein einzelnes Matrixelement,
so gibt der erste Index (i) Auskunft über die Normale der Bezugsfläche
und der zweite Index (j) die Richtung des zugehörigen Spannungskomponentenvektors
an. Die Diagonalelemente stellen daher sogenannte Normalspannungen dar, wohingegen
Elemente außerhalb der Diagonalen Schubspannungen sind.
Im Gleichgewicht herrscht ein Kräfte- und ein Momentengleichgewicht im deformierbaren
Körper. Aus der Gleichgewichtsbedingung für die Kräfte erhält man den Zusammenhang
zwischen Kräften und Spannungen im Körper: ∂σ ij
∂x j
= −K i . Aus der Gleichgewichtsbedingung
für die Momentenspannungen erhält man die Bedingung: ɛ ijk σ jk = 0, welche
für σ jk = σ kj erfüllt ist. Unter den gemachten Annahmen ist daher der Spannungstensor
ein symmetrischer Tensor.
Thermodynamik
Die Änderung der inneren Energie dU eines Systems läßt sich allgemein aus der Änderung
der Entropie dS und der geleisteten Arbeit δW berechnen: dU = T dS − δW . Um
diesen Zusammenhang bei der Untersuchung von Festkörpern verwenden zu können,
muß zunächst die vom Kristall geleistete Arbeit berechnet werden. Sei δW die Arbeit
der inneren Spannung pro Volumenelement des Festkörpers. Dann ist die Arbeit, die
geleistet werden muß, um eine kleine Deformation δu i des Kristalls zu bewirken:
∫
δW dV =
∫
∂σik
∂x k
δu i dV =
∮
∫
σ ik δu i dO k −
σ ik
∂δu i
∂x k
dV
Betrachtet man ein unendlich ausgedehntes Volumen, so ist die Oberfläche dieses Volumens
nicht deformiert, d.h. δu i = 0 auf dieser Fläche und damit liefert das Flächenintegral
keinen Beitrag. Unter Berücksichtigung der Symmetrie des Spannungstensors kann
man dann weiter umformen:
∫
−
σ ik
∂δu i
∂x k
dV = − 1 2
∫
( ∂ui
σ ik δ + ∂u ) ∫
k
dV = −
∂x k ∂x i
σ ik δɛ ik dV
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