Computer-Simulationen struktureller und elastischer ... - KOPS

Elastizitätstheorie
Dabei sind λ und µ die sogenannten Lamé Koeffizienten. Eine reine Scherung ist eine
Formveränderung ohne Volumenveränderung: ɛ ii = ɛ 11 + ɛ 22 = 0. Eine homogene
Dilatation ist eine Volumenveränderung ohne Formveränderung: ɛ ik = cδ ik (c = konstant).
Da jede Verzerrung in eine Scherung plus eine Dilatation zerlegt werden kann,
läßt sich der Verzerrungstensor, wie bereits diskutiert, auch als Summe dieser darstellen.
In zweidimensionalen Systemen erhält man den folgenden Ausdruck:
ɛ ik =
(ɛ ik − 1 )
2 δ ikɛ ll + 1 2 δ ikɛ ll
Der erste Summand ist eine reine Scherung, wohingegen der zweite eine homogene Dilatation
beschreibt. Es ist zu beachten, daß in zweidimensionalen Systemen δ ii = δ 11 +δ 22 = 2
und auch δ ik δ ik = δ 11 δ 11 + δ 12 δ 12 + δ 21 δ 21 + δ 22 δ 22 = 2 gilt. Die Formulierung der Dichte
der Freien Energie mit Hilfe der Lamé Koeffizienten (Gl. 6.2) kann direkt in Beiträge
einer reinen Scherung und Beiträge einer homogenen Dilatation umsortiert werden. Man
startet dazu z.B. mit der Summe der reinen Scherung und homogenen Dilatation und
bestimmt aus einem Koeffizientenvergleich die noch unbekannten Konstanten A und B.
F = A
(ɛ ik − 1 ) 2
2 δ ikɛ ll + Bɛ 2 ll
(ɛ = A ik ɛ ik − ɛ ik δ ik ɛ ll + 1 )
4 δ ikδ ik ɛ ll ɛ ll + Bɛ 2 ll
=
(
Aɛ 2 ik + B − 1 )
2 A ɛ 2 ll
Der Vergleich mit Gleichung (6.2) erlaubt die Bestimmung der Koeffizienten A und B.
A = µ
B − 1 2 A = λ 2
→ B = 1 (λ + µ)
2
In der Literatur wird diese Darstellung zumeist in folgender Form angegeben:
(
F = µ ɛ ik − 1 ) 2
2 δ ikɛ ll + K 2 ɛ2 ll
wobei µ der Schermodul und K = 2B = λ + µ der Kompressionsmodul ist. Im thermodynamischen
Gleichgewicht ist die Dichte der Freien Energie minimal. Wirken keine
äußeren Kräfte auf den Festkörper ein, so nimmt die Dichte der Freien Energie ihren minimalen
Wert für ɛ ik = 0 an. Aus der Minimalbedingung für F im thermodynamischen
Gleichgewicht kann man schließen, daß stets gelten muß: K > 0 und µ > 0.
Anisotrope Festkörper: Kristalle
Auch für diesen Fall wird von einer isothermen Deformation ausgegangen und der Kristall
im thermodynamischen Gleichgewicht σ ij = 0 betrachtet. In Kristallen läßt sich die Freie
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