Computer-Simulationen struktureller und elastischer ... - KOPS

ANHANG A
Herleitung der Fluktuationsformel
In diesem Appendix wird die Herleitung der Formeln zur direkten Berechnung des Spannungstensors
für ein System harter Scheiben im Detail beschrieben. Sie orientiert sich
an dem in [90] skizzierten Weg.
Der Abstand zweier Punkte im deformierten Körper, die im nichtdeformierten Körper
den Abstand ⃗ R haben, kann aus diesem wie folgt berechnet werden:
r = √ ⃗r = [R i R j (δ ij + 2ɛ ij )] 1/2
(A.1)
ɛ ij sind hierbei die Komponenten des Lagrang’schen Verzerrungstensors.
Ausgangspunkt ist der die Elastizität bestimmende Anteil der Freien Energie F :
F = −kT ln Z C
Das Konfigurationsintegral der klassischen, kanonischen Zustandssumme Z C läßt sich
sowohl bzgl. des deformierten Zustands als auch bzgl. des undeformierten Gleichgewichtszustands
formulieren. Die beiden Zustände sind gemäß der Annahmen der linearen
Elastizitätstheorie über eine affine Abbildung miteinander verknüpft: r i = M ij R j . Die
Transformationsmatrix M ij kann in Verbindung mit dem Lagrange’schen Verzerrungstensor
gebracht werden, wenn man Gleichung (A.1) beachtet. Der direkte Vergleich liefert:
[MM T ] ij = 2ɛ ij + δ ij . Bzgl. des deformierten Zustands lautet das Konfigurationsintegral
Z C =
∫
n∏
V {ɛ} γ=1
d ⃗ r αβγ e − P 〈αβ〉 φ(r)/k BT
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