Computer-Simulationen struktureller und elastischer ... - KOPS

Verzerrungskorrelationen im Festkörper
Nach wie vor gelten aber auch die in Kapitel 9.1 hergeleiteten Beziehungen zwischen den
Verzerrungsfluktuationen. Der mathematische Kern ˜Q 23 verknüpft die deviatorischen
Fluktuationen ẽ 2 mit den Scherfluktuationen ẽ 3 . Setzt man diese Beziehung in Gleichung
9.9 ein, so erhält man eine Relation zwischen ˜θ und ẽ 3 .
( )
˜θ(k x 2 + ky)=(k 2 x 2 − ky)ẽ 2 4a1 + 2a 3 kx k y
3 + k x k y
a 1 + a 2 kx 2 + ky
2 ẽ 3 =
(k 2 x − k 2 y) 2 + k 2 xk 2 y
(
4a1 +2a 3
k 2 x − k 2 y
a 1 +a 2
)
ẽ 3
⇒ ẽ 3 =
k 4 x − k 4 y
(k 2 x − k 2 y) 2 + k 2 xk 2 y
(
4a1 +2a 3
a 1 +a 2
) ˜θ = ˜Q3θ ˜θ
Für die Bestimmung des Schermoduls relevant sind die Fluktuationen in e 2θ = 2θ. Mit
Hilfe der hergeleiteten Zusammenhänge, läßt sich die Freie Energie im Fourier Raum als
Funktional von 2˜θ darstellen. Aus dieser Darstellung kann man mittels des Äquipartitionstheorems
direkt die Korrelationsfunktion ˜G 2θ2θ ablesen [96]:
⎛
⎞
˜G 2θ2θ ( ⃗ 2∑
k ≠ 0) −1 = ⎝a 3 + c 3 k 2 + c ′ 3k 4 + (a j + c j k 2 + c ′ jk 4 )( ˜Q j3 ) 2 ⎠ ( ˜Q 3 2θ ) 2
˜G 2θ2θ (⃗0) −1 = a 3
4
Erfolgt die Herleitung über e 2 statt e 3 so erhält man lediglich eine andere Darstellung
der gleichen Funktion, die für ⃗ k → ⃗0 den Schermodul a 2 liefert.
Um einen Eindruck vom Verlauf dieser Korrelationsfunktion im Fourier Raum zu bekommen
betrachtet man nun wieder die Diagonale k x = k y und das Grenzwertverhalten
für k x → ⃗0 und k y → 0. Der mathematische Kern ˜Q 3 2θ , welcher die Verzerrungsvariable
e 3 mit e 2θ verknüpft zeigt das folgende Verhalten:
˜Q 3 2θ =
j=1
{ (
0
)
für k x = k y
− 1 −ky
4
2
= − ( 1
ky+0
2)
für 4 kx → 0 , k y ≠ 0
( )
1
2
= ( )
1
2
für k y → 0 , k x ≠ 0
k 4 x
k 4 x
Wie man erkennt bleibt der kontinuierliche Verlauf entlang der Koordinatenachsen der
Korrelationsfunktion ˜G 33 ( ⃗ k) beim Übergang zu ˜G 2θ2θ ( ⃗ k) erhalten. Der Verlauf entlang
der Diagonalen muß jedoch genauer betrachtet werden, da ˜G 33 ( ⃗ k) entlang dieser Richtung
diskontinuierlich ist. Dazu wird das Produkt der mathematischen Kerne ˜Q 23 und
˜Q 3 2θ betrachtet.
˜Q 2 23 ˜Q 2 3 2θ =
= 1 4
⎛
(
− 4a ( ))
1 + 2a 3 kx k 2
y
a 1 + a 2 kx 2 − ky
2
( 4a1 + 2a 3
⎞
⎝ 1 (kx 2 − ky)(k 2 x 2 + ky)
2
( ) ⎠
2 (kx 2 − ky) 2 2 + kxk 2 y 2 4a1 +2a 3
a 1 +a 2
a 1 + a 2
) 2
k 2 xk 2 y(k 2 x + k 2 y) 2
(
(k 2 x − k 2 y) 2 + k 2 xk 2 y
(
4a1 +2a 3
a 1 +a 2
)) 2
151
2