Computer-Simulationen struktureller und elastischer ... - KOPS

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Anhang C ( ∫ + ϱ 2 B d⃗r 1 ∫ ∫ + (2ϱ A ϱ B d⃗r 1 ∫ d⃗r 2 r 12 ∂v BB (r 12 ) ∂r 12 d⃗r 2 r 12 ∂v AB (r 12 ) ∂r 12 ) g (2)B N (⃗r 1, ⃗r 2 ) ) ] g (1+1)AB N (⃗r 1 , ⃗r 2 ) Im isotropen System lassen sich die Integrale ∫ ∫ d⃗r 1 d⃗r2 → ∫ ∫ dr⃗ 12 d⃗r2 in Integrale der Form (zweidimensionales System) V ∫ dr⃗ 12 = V ∫ 2π 0 dϕ ∫ ∞ 0 rdr = 2πV ∫ ∞ 0 rdr umschreiben. Somit gilt im isotropen System für das Integral: [ ( ∫ ) ( ∫ ) 1 2 2πV ϱ 2 A dr 12 r12 2 ∂v AA (r 12 ) g (2)A N ∂r (r 12) + ϱ 2 B dr 12 r12 2 ∂v BB (r 12 ) g (2)B N 12 ∂r (r 12) 12 ∫ ) + (2ϱ ] A ϱ B dr 12 r12 2 ∂v AB (r 12 ) g (1+1)AB N (r 12 ) ∂r 12 Für den Spezialfall harter Scheiben lautet das zu lösende Integral: ∫ ∫ dr 12 r12 2 ∂v(r 12 ) g (2) N ∂r (r 12) = dr 12 r 2 ∂v(r 12 ) 12 e −βv(r12) e βv(r12) g (2) N 12 ∂r (r 12) ∫ ∫ 12 ( = dr 12 r12 2 ∂v(r 12 ) e −βv(r12) y(r 12 ) = dr 12 r12 2 − 1 ) [ ] d e −βv(r 12) y(r 12 ) ∂r 12 β dr 12 Beachtet man nun, daß y(r 12 ) = e βv(r12) g (2) N (r 12) eine in r 12 = σ stetige Funktion ist und die Ableitung der Stufenfunktion Θ(r 12 −σ) = e −βv(r12) die Deltafunktion ist ( d dr 12 Θ(r 12 − σ) = δ(r − σ)), so sieht man, daß gilt: ∫ ∫ ( dr 12 r12 2 ∂v(r 12 ) g (2) N ∂r (r 12) = dr 12 r12 2 − 1 ) [ ] d Θ(r 12 − σ)) y(r 12 ) 12 β dr 12 = − 1 ∫ dr 12 r 2 β 12δ(r 12 − σ)y(r 12 ) = − 1 β σ2 g (2) N (σ+) Wobei σ+ andeutet, daß der Kontaktwert der Paarkorrelationsfunktion von Abständen größer als dem Teilchendurchmesser σ herkommend berechnet werden muß. Das gesamte Integral ergibt für harte Scheiben damit: πV [ ϱ 2 A ( − 1 β ) σAg 2 (2)A N (σ A+) + ϱ 2 B ( − 1 ) β σBg 2 (2)B N (σ B+) ( +2ϱ A ϱ B − 1 ) [ ] 1 2 ] β 2 (σ A + σ B ) g (2)AB 1 N ([ 2 (σ A + σ B ) +) Diesen Ausdruck setzt man nun wieder in die Virialgleichung ein. In Einheiten von k B T kann daher der Druck im zweidimensionalen, homogenen und isotropen, binären Harte Scheiben Fluid aus den Kontaktwerten der Paarkorrelationsfunktionen mit Hilfe der folgenden Formel berechnet werden: p k B T = ϱ + π 2 ( ϱ 2 Aσ 2 Ag (2)A N (σ A+) + ϱ 2 Bσ 2 Bg (2)B N ) (σ B+) + 2ϱ A ϱ B σABg 2 (1+1)AB N (σ AB +) ] 272
ANHANG D Veröffentlichungen und Vorträge Teile der hier vorliegenden Arbeit wurden bereits in Fachjournalen veröffentlicht: • Field induced ordering phenomena and non-local elastic compliance in two dimensional colloidal crystals K. Franzrahe, P. Nielaba, A. Ricci, K. Binder, S. Sengupta, P. Keim, G. Maret J. Phys.: Condens. Matter, 20, 40, 404218, (2008) • Non-local elastic compliance for soft solids: Theory, simulations and experiments K. Franzrahe, P. Keim, G. Maret, P. Nielaba and S. Sengupta Phys. Rev. E, 78, 026106 (2008) • Entropy versus energy: The phase behavior of a hard-disk mixture in a periodic external potential K. Franzrahe and P. Nielaba Phys. Rev. E, 76, 061503 (2007) • Two-dimensional model colloids and nano-wires: phase transitions, effects of external potentials and quantum effects K. Franzrahe, P. Henseler, A. Ricci, W. Strepp, S.Sengupta, M.Dreher, Chr. Kircher, M. Lohrer, W. Quester, K. Binder and P. Nielaba Comp. Phys. Commun., 169, 197 (2005) • Elastic properties, structures and phase transitions in model colloids P. Nielaba, K. Binder, D. Chaudhuri, K. Franzrahe, P. Henseler M. Lohrer A. Ricci, S. Sengupta and W. Strepp J. Phys.: Condens. Matter, 16, 38, S4115-S4136 (2004) 273
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Kerstin Franzrahe Theoretische Unte
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Einleitung körper aus den mikrosko
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KAPITEL 2 Monte Carlo Simulationen
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Monte Carlo Simulationen In der pra
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Monte Carlo Simulationen 1. Ein A-T
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Monte Carlo Simulationen In der pra
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KAPITEL 3 Binäre Mischungen und ih
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Binäre Mischungen und ihre Charakt
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Ergebnisse: binäre Mischungen in
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Elastizitätstheorie Mathematisch b
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Fluktuationsmethoden wobei die grie
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Landau Theorie Des weiteren muß da
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Landau Theorie Im kanonischen Ensem
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Verzerrungskorrelationen im Festkö
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’Finite size’ Effekte 0.02 0.01
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Ein kolloidaler Kristall a) b) Abbi
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