Computer-Simulationen struktureller und elastischer ... - KOPS

Verzerrungskorrelationen im Festkörper
Das Volumen der Kreisscheibe ist V B = πRB 2 . Während der homogenen Dilatation
verändert sich dieses um ∆V B = 2π( 1 2 (R B + ∆r) 2 − 1 2 R2 B ) = 2πR B∆r + π(∆r) 2 .
Damit läßt sich die benötigte Energie E näherungsweise wie folgt schreiben:
E = (K + µ) (2πR B∆r) 2
2(πR 2 B ) = (K + µ) (∆V B) 2
2V B
Mit Hilfe des Gleichverteilungssatzes kann man nun direkt schließen, daß
V B 〈e 2 1〉 = 〈(∆V B) 2 〉
V B
= k BT
K B + µ B
. (9.7)
Reine Scherung:
Die Kreisscheibe wird als starrer Körper rotiert: ϕ → ϕ + ∆ϕ.
Das Verschiebungsfeld in Polarkoordinaten ist dann:
{
0 für r < RB
u r = 0 , u ϕ =
∆ϕ R2 B
r
für r > R B
Die benötigten Linearkombinationen der Verzerrungen vereinfachen sich zu:
ɛ rr + ɛ ϕϕ = 0, ɛ rr − ɛ ϕϕ = 0 und
ɛ rϕ = 1 2
( 1
r
∂u r
∂ϕ + ∂u ϕ
∂r − u ) {
ϕ 0 für r < RB
= ( ) 2
r −∆ϕ RB
r
für r > R B
Die für die reine Scherung aufzubringende Energie ist daher:
E =
∫ 2π ∫ ∞
0
0
= 2πµ(∆ϕ) 2 R 2 B
∫ RB
rdϕdrf = 2π rdr 0 + µ ∫ [
∞
rdr 4 −∆ϕ
0
2 R B
Mittels des Äquipartitionstheorems sieht man, daß gilt:
(
RB
r
) 2
] 2
µ = k BT 1
πRB
2 〈(2∆ϕ)2〉 = k BT 1
V B 〈(2∆ϕ) 2 〉 = k BT 1
V B 〈e 2 2θ 〉 (9.8)
Wie man an diesem Gedankenexperiment erkennt, beschreiben die Fluktuationen von
e 1 = (ɛ rr +ɛ ϕϕ ), e 2 = (ɛ rr −ɛ ϕϕ ) und e 3 = ɛ rϕ in einem eingebetteten System nicht mehr
reine Volumen- oder reine Formänderungen. So treten bei der Dilatation der Kreisscheibe
im sie umgebenden Medium auch Scherungen auf. Aus der Analyse von G 11 zum Beispiel
erhält man daher nun nicht mehr den Kompressionsmodul, sondern K + µ. Diese Überlegungen
motivierten Zahn et al. [77] dazu, zur Bestimmung der elastischen Konstanten
in einem zweidimensionalen, kolloidalen Kristall die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der
mittleren Fluktuationen der Verzerrungen e 1 und der Starrkörperrotationen e 2θ = 2θ
148