antriebstechnik 6/2016

GETRIEBETECHNIK
01 Symbolische Darstellung des 8HP von ZF [2] 02 Bild des 8HP von ZF als Graph
03 Graph aus
zwei Knoten
Der einfachste Graph besteht aus zwei Knoten und einer Kante
(Graph[n=2]), besitzt genau eine mögliche Lösung und ist somit
trivial. Als Text ausformuliert könnte man diesen Graphen Bild 03
(mit n = node = Knoten und c = connection = Kante) auch schreiben:
Graph[n=2]: (1–2) bzw. (2–)
Unterscheidet man die Knoten voneinander (z. B. durch Nummerierung)
und setzt voraus, dass immer alle vorhandenen Punkte zu
einer einzigen Figur zusammengebunden werden müssen (sog.
zusammenhängender Graph), erhält man bei der Verwendung von
drei Knoten (Graph[n=3]) vier mögliche Lösungen (Bild 04), als
Text ausformuliert:
n (1–2)(2–3)
n (2–3)(3–1)
n (2–1)(1–3)
n (1–2)(2–3)(3–1)
Wie man hier erkennen kann, sind dies eigentlich nur zwei Formen:
Ein Dreieck und ein auf einer Seite offenes Dreieck. Da es aber bei
einer Konstruktion eventuell später doch relevant ist, welche Punkte
man zusammenschließt (ob Hohlrad mit dem nächsten Steg oder
die Sonne mit dem nächsten Steg) werden zunächst diese Lösungen
als „verschieden“ angesehen, auch wenn sie sicher kinematisch
ähnliche Drehzahlen ergeben können. Ansonsten müsste man die
Gleichung anders formulieren.
An dieser einfachen Figur kann man ebenfalls erkennen, dass man
für einen minimalen Graphen immer mindestens so viele Kanten,
wie die „Anzahl der Knoten minus eins“ benötigt, um eine vollständige
Figur zu bilden. Will man fünf Knoten (=node/n) zusammenbinden,
braucht man mindestens vier Kanten (=connection/c), oder
als Gleichung allgemein formuliert:
Betrachtet man die Varianten mit vier Knoten, so sieht man, dass
nur die folgenden Möglichkeiten existieren, eine Kante zwischen
zwei Knoten zu ziehen:
n (1–2) oder (2–1)
n (1–3) oder (3–1)
n (1–4) oder (4–1)
n (2–3) oder (3–2)
n (2–4) oder (4–2)
n (3–4) oder (4–3)
Die maximale Anzahl von Möglichkeiten eine Kante zwischen vier
Knoten zu ziehen ist demnach
.
Die maximale Anzahl an Kanten in einem Graph (c max
), allgemein
formuliert:
Um nun vier Knoten zu einer Figur zusammenzufügen, benötigt
man mindestens drei, maximal jedoch sechs Kanten. Für eine
Abschätzung aller Möglichkeiten vier Knoten miteinander zu vernetzen,
erhält man demnach die Summe der vier Möglichkeiten
oder
In Summe wären das 42 verschiedene Figuren. Tatsächlich ergeben
sich (siehe Bild 05) jedoch:
also insgesamt nur 38 Möglichkeiten an zusammenhängenden
Figuren. Man müsste nämlich immer die Figuren abziehen, welche
bei wenigen Kanten schon geschlossene Streckenzüge bilden und
damit nicht mehr alle Knoten zu einer Figur zusammenbinden (siehe
Bild 05, n = 4 c = 3, Zeile der grau gezeichneten Figuren mit einem
losen Eckknoten). Für eine Abschätzung der Größenordnung der
Anzahl der Vernetzungen ist dies jedoch nicht weiter relevant, da
die resultierenden Gleichungen für eine überschlägige Bestim-
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