antriebstechnik 6/2016

mung zu komplex wären. Die Graphen von Getriebestrukturen
befinden sich normalerweise zwischen denen mit minimaler und
maximaler Kantenzahl. Der Fehler für die Abschätzung der Anzahl
von Getriebevarianten ist damit eher als gering einzuschätzen.
Es ergibt sich demnach folgende, vereinfachte allgemeine Gleichung
zur Abschätzung der Anzahl der Vernetzungsmöglichkeiten
eines Graphen (N):
Die Anzahl der Vernetzungsmöglichkeiten
Wie viele mögliche Varianten besitzt demnach eine Grundstruktur
wie das 8HP?
Es existieren:
n sechs Kanten aufgrund der Verbindungen durch Wellen
n acht fixe Kanten aufgrund der Verzahnungen
n drei geschlossene Kanten aus den fünf möglichen Schaltelementen
Dies bedeutet für den Graphen des 8HP:
n n = 15 (Anzahl Knoten des Graphen des 8HP)
n c = 17 (Anzahl der Kanten des Graphen des 8HP)
Daraus lassen sich nun mit den Gleichungen die folgenden Eckdaten
ableiten:
n Die minimale Anzahl von nötigen Kanten für eine Figur sind
demnach (nach Gl.1):
n Die Anzahl der insgesamt möglichen Kanten in einem solchen
Graphen sind demnach (nach Gl.2)
einen ebenen Graphen zu erzeugen und die beiden Matrizen (für
Drehzahlen und Momente) des zugehörigen Systems zu lösen.
Wenn diese je eine sinnvolle Lösung ergeben, ist dieser Graph für
einen Gang verwendbar.
Nun genügt es aber für ein Automatikgetriebe nicht, nur eine
einzige mögliche Vernetzung zu finden. Die Vernetzung sollte auch
Nachbarvernetzungen besitzen, welche beim Austausch zweier
Kanten Lastschaltbarkeit ermöglicht. Hat man mehrere Gruppen
von Vernetzungen gefunden, fallen eventuell viele Lösungen wieder
aus einer möglichen Umsetzung, da sie z. B nicht den gewünschten
Übersetzungsbereich darstellen können oder die Relativdrehzahlen
oder die Haltemomente an Kupplungen/Bremsen zu hoch werden.
Selbst bei massiver Parallelisierung auf mehreren CPU’s (und mehreren
Rechnern), stellen solche Systeme noch eine große Herausforderung
an Programmierung und Hardware dar.
Konstruktionshinweise aus Anwendung
der Gleichung
Sieht man für ein Getriebekonzept nun eine maximale Rechenzeit
von ca. drei Monaten vor, kann man durch sukzessives Einsetzen
in die Gleichung zurück schließen, wie viele Freiräume man sich
bei der Konzeptfindung in etwa erlauben darf. Dies ist natürlich
auch wieder von der jeweiligen Hardware und Implementierung
abhängig. Man kann jedoch heute noch die Größenordnung von
10 10 Lösungen als eine solche Grenze ansehen, welche den
Zeitrahmen sprengt.
Aus der Vorgabe der leeren Grundstruktur N 17
mit den 8 Kanten
(durch die Verzahnungen zwischen Sonne, Planet und Hohlrad)
ohne irgendeine sonstige Vernetzung ergibt sich zu Beginn für die
Betrachtung aller Varianten:
(45 Jahre)
n Die Anzahl der möglichen Graphen aus 17 Kanten und 15 Knoten
(wie das 8HP) zu zeichnen ist demnach
Fügt man nun weitere fixe Kanten ein, ergeben sich:
(4 Jahre)
Geht man nun davon aus, dass die Kanten, aus denen die vier Minusgetriebe
bestehen, als fix vorgegeben sind und nicht variiert werden
können, reduziert sich die Anzahl zumindest auf
Dies ist dann die Anzahl von Möglichkeiten, die ein Programm
durchgehen muss, um zu entscheiden, wo Wellen in das Getriebe
zwischen welchen Zahnrädern eingefügt werden sollen, bzw. welche
Elemente an Bremsen oder Kupplungen oder An- und Abtrieb angeschlossen
sein sollen. Bei den Größenordnungen dieser Zahlen wird
ersichtlich, warum man hier von „kombinatorischer Explosion“ der
Möglichkeiten spricht.
Geht man nun davon aus, dass die Prüfung einer möglichen
Lösung auf einem herkömmlichen Rechner (mit nur einer CPU)
1 ms dauert, ergibt sich immer noch eine Rechendauer von ca.
45 Jahren, um alle Möglichkeiten zu bestimmen. Der Wert von
1 ms ist hier nur rein theoretisch zu sehen. Er dient der Veranschaulichung
und hängt in der Praxis auch sehr an der programmiertechnischen
Umsetzung. Diese Zeit wird in etwa benötigt, um
(127 Tage)
Die Grenze der Rechenbarkeit in vertretbarer Zeit bei einem Automatikgetriebe
wie dem 8HP ist demnach bei zehn fix vorgegebenen
Kanten erreicht: Dies entspricht nach den getroffenen Annahmen
etwa 127 Tage Rechenzeit. Neben den acht Verzahnungskanten
sollte der Ingenieur zwei (Wellen-, Bremse- oder Kupplungs-) Kanten
festlegen. Nun stellt sich für Ihn noch die Frage, welche der
verbleibenden 97 möglichen Kanten des Graphen sich dafür am
besten eignen. Die erste Vorgabe einer Kante, die nach der Synthese
unbedingt im Getriebe enthalten ist, kann man dabei leicht aus der
vorhandenen Grundstruktur schließen. Die Summenwelle (also die
Welle mit dem höchsten Moment) bei Minusgetrieben ist immer
der Steg. Möchte man das Getriebe möglichst leicht bauen, sollte
das höchste Moment im Minusgetriebe (bei Schaltbarkeit normalerweise
der erste Gang) möglichst am Abtrieb anliegen. Dies ist der
Fall, wenn man den Abtrieb wahlweise mit dem Steg des ersten,
zweiten, dritten oder vierten Minusgetriebes verbindet (Bild 06
links, Kanten 1–4).
Für die zweite Vorgabe wären mehrere Ansätze möglich. Hier wäre
die Wahl einer der Kanten 5 – 8 günstig (Bild 06 rechts), da sich
damit konstruktiv z. B. leicht eine Bremse umsetzen lässt. Je nach
88 antriebstechnik 4/2016