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LA ENERGÍA DE LOS FLUIDOS
LÍMITE DE BETZ
La teoría de la energía que podría ser captada por el rotor de un aerogenerador fue desarrollada por el alemán A. Betz en 1927.
El límite de Betz establece que la máxima potencia que puede obtener un aerogenerador ideal es 0,59 de la potencia del viento incidente. El cálculo se desarrolla
del modo siguiente:
La potencia de una masa de aire que pasa a través de una sección S con velocidad V1 es:
Siendo W Potencia; M Masa de aire; E Energía; T Tiempo; Densidad del aire; V Velocidad del aire
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Como puede verse la masa de aire M que pasa en un tiempo T, es el producto del área (S) por el volumen que pasa (V T) y por la densidad ().
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Vamos a considerar un tubo de corriente, en el que hay una sección S aguas arriba de la del rotor R y otra aguas abajo S . El aire que se desplaza por el inte-
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rior del tubo atraviesa el rotor y le cede parte de su energía. La sección aumenta de S a R y de R a S . Suponemos un movimiento estacionario, con densidad
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constante, con lo que la velocidad debe ir disminuyendo a medida que aumenta la sección.
Las ecuaciones que regulan el movimiento son:
Ecuación de continuidad
Ecuación de la cantidad de movimiento
Aplicando la ecuación de Bernouilli a la sección S y a la cara anterior del disco
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Operando entre la cara posterior del disco y la sección
Restando ambas ecuaciones y considerando que la presión se iguala en las secciones S y S resulta que la diferencia de presión a ambas caras del disco
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vale
La fuerza que se ejerce sobre el rotor es el producto de la diferencia de presiones a ambos lados por el área:
La potencia absorbida por el rotor W es el producto de la fuerza F ejercida por al velocidad del viento V. Operando con los valores obtenidos tenemos.
Si llamamos k = V 2 /V 1 la expresión queda de la forma
El máximo de la potencia se obtiene igualando a cero la derivada dW/dk.
Operando se obtiene que k = 1/3 y sustituyendo este valor en la ecuación de la potencia se obtiene el valor máximo que puede obtenerse:
P
Su valor máximo es:
Vemos que la máxima potencia que se puede obtener, en teoría, de una corriente de aire, con un aerogenerador ideal, nunca puede superar al 59,25 % de la