Descarga - Esteyco Energia

Ecuación de Bernouilli aplicada a un tubo en
aspiración.
Elemento diferencial de una línea de corriente.
1. EL AGUA Y LA ENERGÍA
Supongamos un elemento de fl uido de forma prismática que se mueve a los largo de una
línea de corriente en la dirección +s y cuya masa es A s. Se supone que el fl uido es
incompresible y que la viscosidad es cero, lo que elimina las fuerzas de corte quedando
únicamente las debidas a la gravedad y la presión.
En el elemento considerado la fuerza aguas arriba vale p A en la dirección +s y
aguas abajo la fuerza es y actúa en la dirección –s. En las hipótesis
consideradas cualquier otra fuerza sobre los lados del elemento es normal a s. La
componente del peso en la dirección s es − ρ gδAδs cos Φ . Aplicando la ecuación de
fuerzas de Newton ∑ f s = δma
tenemos
s
Siendo a la aceleración de la partícula del fl uido a lo largo de la línea de corriente.
s
1 ∂p
Dividiendo por la masa de la partícula ρδ Aδs
y simplifi cando: + gcosΦ
+ as
= 0
ρ ∂s
δ z es el aumento de altura para un desplazamiento δ s y, por tanto,
La aceleración a s es dv/dt. Como v depende de s y de t:
∂v
∂v
dv ds + dt
∂s
∂t
dv ∂v
ds ∂v
a = = +
s
dt ∂s
dt ∂t
= , dividiendo por dt
Sustituyendo en la ecuación (1) cos y as 1 ∂p
∂z
∂v
∂v
+ g + v + = 0
ρ ∂s
∂s
∂s
∂t
δz
= cosΦ
=
δs
Para simplifi car la ecuación se supone que el fl ujo es permanente, lo que implica que ∂v
= 0 ,
1 ∂p
∂z
∂v
+ g + v = 0
con lo que
ρ ∂s
∂s
∂s
y como, al ser el fl ujo permanente p, z y v son funciones únicamente de s, se pueden
sustituir las derivadas parciales por totales:
dp
+ gdz + vdv = 0
ρ
2
Integrando: v p
gz + + = const
2
que se transforma en la ecuación usual, con las unidades en metros:
ρ
2
v p
z + + = const
2g
γ
Que es la ecuación de Bernouilli. Como hemos indicado implica que se aplique a una
línea de corriente, en un fl uido sin rozamiento y en régimen permanente.
∂z
∂s
∂t
(1)
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