HEC MONTRÉAL

Les copules archimédiennes les plus communes dans le domaine du risque de crédit
sont la copule de Clayton, de Gumbel et de Frank (voir Embrechts et al. [16] et
Frees et Valdez [17]). Les copules de Clayton et de Gumbel permettent en autre
l’introduction d’une asymétrie relative à la dépendance des queues des distributions
(dépendance pour l’une des deux queues seulement). De plus, ces copules offrent, tout
comme les copules elliptiques, la possibilité d’échantillonner des scénarios aléatoires
dans un contexte de simulation Monte-Carlo.
Exemple 3-Copule de Clayton
Cette copule a été introduite par Clayton ([7] dans ses études épistémologiques
afin de modéliser l’incidence des maladies chroniques sur des membres d’une même
famille. La copule de Clayton n’a pas de dépendance supérieure mais uniquement
inférieure. La fonction génératrice s’exprime par
et la fonction inverse par
ϕ(t) = (t −θ − 1), θ > 0, (3.14)
32
ϕ −1 1
−
(t) = (t + 1) θ , θ > 0. (3.15)
Dans le cas de la copule de Clayton, cette fonction inverse correspond à la transformée
de Laplace de la v.a. Y non-négative de type Gamma standard de paramètre 1/θ.
La copule de Clayton peut alors s’exprimer explicitement par
C Clay
n
θ (u1, ..., un) = (1 − n +
Exemple 4-Copule de Gumbel
i=1
u −θ
1
i )− θ , θ > 0. (3.16)
La copule de Gumbel n’a pas de dépendance inférieure mais uniquement
supérieure. La fonction génératrice s’exprime par
et la fonction inverse par
ϕ(t) = (− ln t) θ , θ ≥ 1, (3.17)
ϕ −1 (t) = exp(−t 1
θ ), θ ≥ 1. (3.18)