HEC MONTRÉAL

α3 √
α2−β2 = γ. Donc, à partir des hypothèses de modélisation,
κ = −E[a(V )V ]. Et
ν =
.
Var[a(V )]
1 − γ
E[Xi] = E[a(V )V ] + νVi + κ] (3.111)
50
= E[a(V )V ] + E[νVi] + E[κ] (3.112)
= E[a(V )V ] + 0 + κ (3.113)
Var[Xi] = Var[a(V )V ] + Var[νVi] + Var[κ 2 ] (3.114)
tel que
= Var[a(V )V ] + ν 2 Var[V ] + 0 (3.115)
= Var[a(V )V ] + ν 2 γ + 0 (3.116)
Var([a(V )V ]) = E[(a(V )V ) 2 ] − E 2 [a(V )V ]. (3.117)
Calcul de E[a(V )V ] et E[(a(V )V ) 2 ]
E([a(V )V ]) = E[− √ a1V ≤θV + √ =
b1V >θV ] (3.118)
√ θ
a vfNIG(1)(v)dv +
−∞
√ ∞
b vfNIG(1)(V )dv (3.119)
θ
E[(a(V )V ) 2 ] = E[(a(V )V ) 2 ] (3.120)
= E[a1V ≤θV 2 + b1V >θV 2 ] (3.121)
θ
∞
= a
−∞
v 2 fNIG(1)(v)dv + b
θ
v 2 fNIG(1)(v)dv (3.122)
La probabilité de défaut conditionnelle au facteur commun V s’exprime alors par
p i|V
t = Q(Xi ≤ Ki(t)|V ) (3.123)
= Q(a(V )V + νVi + κ ≤ Ki(t)|V ) (3.124)
= Q(Vi ≤ Ki(t)
=
− a(V )V − κ
|V )
ν
FNIG(c)(
(3.125)
Ki(t) − √ a1V ≤θV − √ b1V >θV − κ
),
ν
(3.126)