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avec Ki(t), le seuil de défaut donné par 51 Ki(t) = F −1 cds (F Xi i (t)), (3.127) où F −1 Xi est la fonction de répartition des Xi avec F cds i (t) la fonction de survie individuelle obtenue à partir des prix observés sur le marché des CDS liés au portefeuille. Or les v.a. Xi ne suivent pas une distribution NIG, sauf si les paramètres aléatoires sont égaux (a = b). Cette valeur de seuil Ki(t), connaissant la probabilité de défaut individuelle p i t = Fi(t), peut être déterminée implicitement selon : p i t = = ∞ −∞ ∞ −∞ p i|v t fvdv (3.128) FNIG(c)( K(t) − √ a1v≤θV − √ b1v>θV − κ )fNIG(1)(v)dv. (3.129) ν 3.2.4 Construction de la distribution des pertes du portefeuille À partir de la détermination d’un vecteur aléatoire τ1, ..., τn lié au n éléments du portefeuille selon une structure de dépendance induite par la copule choisie, il est pos- sible de calculer une perte cumulative du portefeuille au temps t. Plus spécifiquement, en définissant une fonction indicatrice Ii(t) = 1τi
K1_e = 0% equity K2_e K1_m mezzanine K2_m K1_s senior K2_s = 100% Fig. 3.1: Pertes en % absorbées par chaque tranche d’un CDO. du portefeuille est alors donnée par L(t) ∗ = (1 − Rc) La fraction des pertes totales du portefeuille est donnée par L(t) = (1 − Rc) Distribution des pertes pour une tranche du CDO Np 52 n AiIi(t). (3.132) i=1 n AiIi(t). (3.133) i=1 Les CDO sont divisés en plusieurs tranches de risque correspondant à divers profils d’investisseurs. Généralement, il existe trois niveaux de tranches : senior, mezzanine et equity. La tranche senior, la moins risquée, est la première payée mais la dernière à absorber les pertes. La tranche equity, la plus risquée, est la dernière payée mais la première à absorber les pertes. Par conséquent, chaque tranche absorbe une fraction des pertes correspondant aux points d’attachements [K1, K2], où K1 est la borne inférieure exprimée en pourcentage de la valeur notionelle du portefeuille et K2 la borne supérieure. La figure 3.1 illustre cette situation. La valeur notionnelle d’une tranche est donnée par Ntr = (K2−K1)Np. La fraction
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