HEC MONTRÉAL

F ∞ Lt = 1 − Q[pt(V ) > l], où selon Andersen et Sidenius [2],
Q[pt(V ) > l] =
K(t) − a(V )V − κ
Q[ ] > Φ
ν
−1 (l) (4.34)
= Q[a(V )V ≤ K(t) − κΦ −1 (l) − ν] (4.35)
En posant Ω(l) = K(t) − κΦ −1 (l) − ν, où K(t) est calculé selon 3.109.
Q[pt(V ) > l] = Q[a(V )V ≤ Ω(l)] (4.36)
= Q[a(V )V ≤ Ω(l), V ≤ θ] + Q[a(V )V ≤ Ω(l), V > θ] (4.37)
= Q[ √ aV ≤ Ω(l), V ≤ θ] + Q[ √ bV ≤ Ω(l), V > θ] (4.38)
= Φ(min( Ω(l)
√ , θ)) + 1 Ω(l)
√b a >θ (Φ(Ω(l) √ ) − Φ(θ)) (4.39)
b
Calcul de F ∞, cas du modèle à un facteur NIG stochastique
Lt
Par symétrie avec le modèle à un facteur gaussien stochastique,
F ∞ Lt = 1 − Q[pt(V ) > l], où selon A. Luscher dans [37],
Q[pt(V ) > l] =
K(t) − a(V )V − κ
Q[ ] > F
ν
−1
NIG(c) (l) (4.40)
= Q[a(V )V ≤ K(t) − κF −1
NIG(c) (l) − ν]. (4.41)
En posant Ω(l) = K(t) − κF −1
NIG(c) (l) − ν, où K(t) est calculé selon 3.129 et c = √ 1−a
√ a ,
c = √ 1−b
√ b
Q[pt(V ) > l] = Q[a(V )V ≤ Ω(l)] (4.42)
= Q[a(V )V ≤ Ω(l), V ≤ θ] + Q[a(V )V ≤ Ω(l), V > θ] (4.43)
= Q[ √ aV ≤ Ω(l), V ≤ θ] + Q[ √ bV ≤ Ω(l), V > θ] (4.44)
= F (min( Ω(l)
√ , θ)) + 1 Ω(l) (F (Ω(l) √ ) − F (θ)), (4.45)
√b a >θ
b
où F = FNIG(1) et FNIG(s) = FNIG(x; sα, sβ, −s
4.5 Algorithme de valorisation
√ αβ
, sα).
(α2−β2 )
Tous les éléments sont maintenant réunis afin de calculer le prix juste s(K1,K2)
d’une tranche d’un CDO (d’échéance T sur un intervalle de pertes [K1, K2]) selon
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